计算科学 - 演化非线性薛定谔方程的首选方法是什么？ - 吾爱随笔录 - 问答

演化非线性薛定谔方程的首选方法是什么？

计算科学 pde 非线性方程

2021-12-10 13:02:18

我对发展（三次）自聚焦非线性薛定谔方程感兴趣，

i \frac{\partial ψ}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + {| ψ |}^{2} ψ = 0

$i\frac{\partial \psi}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\left|\psi\right|^2\psi=0$

从初始条件 $\psi(x,t_0)=f(x)$ ，我将把注意力限制在一个有限区域 $x\in [a,b]$ . 由于我不太熟悉演化这个方程的“标准”方法，所以算法/方法的正确选择对我来说并不明显。例如，我不知道使用“光谱”方法是否比直接集成/进化更好。我读过的方法是

对于处理这种演变的“规范”是什么，以及什么是最有效的，我想要一些指导。我也非常感谢直接或间接回答我的问题的参考资料。

如果这是一个模糊或过于简单的问题，请原谅我。

1个回答

您不会在专家之间就求解该方程的单一最佳方法达成普遍共识。另一方面，由于它是一个空间维度的偏微分方程，因此有许多方法可以在合理的时间内提供良好的精度。

一个非常简单的起点是空间中的伪光谱离散化以及龙格-库塔时间积分；你可以在很多好书中了解这些方法，或者你可以在这里找到带有示例和代码的快速介绍（免责声明：链接到我写的东西）。

您会发现使用该方法的主要问题是二阶导数项会导致刚度并迫使您使用有序时间步长 $(\Delta x)^2$ . 有很多方法可以避免这种限制；最简单的是您提到的分步方法，但它引入了自己的重大错误。对于处理刚度的其他更准确的方法，您可以考虑使用积分因子、指数方法或IMEX 加法 Runge-Kutta 方法，所有这些都在这篇优秀的论文中针对各种 PDE 进行了讨论和测试。

我不会尝试评论您列表中的方法 2-3，因为我不是这两种方法的专家。

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