我正在寻找近似我的功能$f(x)$使用切比雪夫和勒让德系列，我遇到了这个问题。

是否使用插值$n+1$Chebyshev 节点与使用第一个表示函数相同$n+1$Chebyshev 级数中的 Chebyshev 系数，即

$$f(x) = \sum_{k=0}^n f(x_k) l_k(x)$$ 在哪里$x_k$是切比雪夫节点和$l_k(x)$是与$k^{th}$节点，同 $$f(x) = \sum_{k=0}^n a_k T_k(x)$$ 在哪里$T_k(x)$是个$k^{th}$切比雪夫多项式和$a_k = \dfrac{\langle f, T_k\rangle}{\langle T_k, T_k\rangle}$?

这里的内积是对多项式使用适当的权重函数的内积，即

$$\langle f, T_k \rangle = \int_{-1}^1 \dfrac{f(y)T_k(y)}{\sqrt{1-y^2}}dy$$

勒让德插值和勒让德展开也是如此，其中内积为