计算科学 - 逆风有限差分格式的可用性 - 吾爱随笔录

计算科学 pde 有限差分平流

2021-12-25 13:16:36

注意：我在数学堆栈交换上问过这个问题，但没有答案。所以，我想我可以在这里试试。

逆风方案，如经典的“上游”方案，可用于求解，例如，平流方程：

\frac{\partial ψ}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} (u ψ) = 0 (1)

$\dfrac{\partial \psi}{\partial t} + \dfrac{\partial }{\partial x}(u\psi) = 0 \qquad (1)$

这是有道理的，因为标量 $\psi$ 被风速运送 $u$ .

我的问题是，这些方案可以在多大程度上使用？它们可以用来求解所有的偏微分方程吗？是否有意义？例如，您可以在文献中找到用迎风法求解扩散方程的尝试。如果我们用它们来求解一个方程，例如，形式为，

\frac{\partial ψ}{\partial t} + a (x, t) \frac{\partial ψ}{\partial x} = 0 (2)

$\dfrac{\partial \psi}{\partial t} + a(x,t)\dfrac{\partial \psi}{\partial x} = 0\qquad (2)$

我们应该使用虚拟风速，即

u = \frac{1}{ψ} \int a \frac{\partial ψ}{\partial x} d x

$u=\dfrac{1}{\psi} \int a \dfrac{\partial \psi}{\partial x}dx$

确定模板？

2个回答

这里有多个问题，但让我们从基础开始。你写了两个双曲偏微分方程；(1) 是连续性方程，是保守的；(2) 是颜色方程，不是保守的。

对于 (1)，您正确地说明了特征速度是 $u(x,t)$ . 对于 (2)，您在回答和评论中都提出了错误的建议。(2) 的特征速度为 $a(x,t)$ . 所以，你介绍的“虚拟风速”是没有用的。

是的。此外，与@Jan 所建议的相反，（2）即使对于典型的不连续函数也是适定的 $a$ . 不连续问题的逆风离散化 $a$ 在对 CFL 数的通常限制下，将是收敛的。

它与您的问题没有直接关系，但是由于@Jan 提出了它，我将添加 $a$ 不是相关条件。经典解决方案不存在的最简单情况是，当有一个点 $a$ 符号由正变为负。delta 函数必须在该点形成。完全相同的事情发生在 (1) 的情况下 $u$ 改变符号，所以这对于颜色方程没什么特别的。

这取决于您所说的“逆风方法”到底是什么意思。对于扩散方程，信息的传递不存在方向偏差。一个明确的、纯单面的模板不能收敛于扩散（参见 CFL 论文）。对于任何 PDE，您都可以使用偏向一个方向（但包括两个方向上的一些点）的模板。

有关 (1) 和 (2) 之间的差异以及逆风法数值离散化的详细讨论，请参阅LeVeque 关于有限体积方法的书的第 9 章。

让我假设它upwind指的是有限体积或有限差分方案中平流项的逆风离散化，例如参见Grossmann、Roos 和 Stynes的《偏微分方程的数值处理》一书。

逆风可以用来解所有方程吗？

当然不是。如果在 $(1)$ 风 $a$ 是不可积的，那么就不会有可以用数值方案近似的经典解。

所以让我们假设 $a$ 是连续的，即问题是在规则域上提出的，具有合理的数据并且离散化方案是合理的。然后，迎风应用于 $(1)$ 将给出有用的结果，因为它是稳定和一致的。

我们应该使用虚拟风速吗？

对您的问题进行的任何重新表述都会导致类似的形式 $(1)$ 用光滑的 $a$ 因此可以通过逆风离散化很好地解决。您可以更笼统，也可以有源项和线性矫顽算子，如扩散。

我们能解出类型方程吗 $(2)$ ?

大概是。进行重新制定 $a\partial_x\psi = \partial_x (a\psi) - \partial_x(a) \psi$ 给你表格 $(1)$ 加上一个额外的运算符，希望不会破坏方案的稳定性。

无论如何，等式的来源 $(2)$ 很可能是守恒定律的微分形式（如 Navier-Stokes 方程中的动量方程），其形式为 $(2)$ 因为 $a$ 在空间（1D）或无散度（2D 或 3D）中是恒定的。在这种情况下，在建议的重新表述中，附加项为零，你得到方程 $(1)$ .

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