计算科学 - 节点处二阶 ODE 的有限元误差为零 - 吾爱随笔录

我为这个问题编写了一个带有线性基元的有限元方法

- u^{″} = f (x), x \in [0, 1], u (0) = u (1) = 0

$-u'' = f(x), x\in[0,1], u(0) = u(1) = 0$ 节点是均匀分布的，我将它们表示为。我最初将我的方法的误差计算为其中表示 FEM 解。我一直得到大约 0 作为错误，我认为这是因为 FEM 解决方案在节点。

x_{i}

$x_i$

error = max_{i} | u (x_{i}) - \hat{u} (x_{i}) |

$\text{error} = \max_i |u(x_i) - \hat{u}(x_i)|$

\hat{u}

$\hat{u}$

u

$u$

x_{i}

$x_i$

然后我返回并得到了我得到了二阶收敛（如预期的那样）。

max_{x \in [0, 1]} | u (x) - \hat{u} (x) |

$\max_{x\in[0,1]} |u(x) - \hat{u}(x)|$

我的问题是 FEM（具有线性/二次/三次分段基函数）是否总是返回精确解的插值，所以我应该期望节点处的误差为零吗？