计算科学 - 牛顿法趋于零行列式雅可比行列式 - 吾爱随笔录

计算科学非线性方程收敛牛顿法雅可比

2021-12-01 16:03:24

我正在使用牛顿法求解 $3\times3$ 系统。

对于某些特定情况，事实证明，在给定的迭代中，雅可比矩阵不能倒置，并且其行列式非常接近于零（查看矩阵，有些项在附近1e+0，而其他项是1e-15）。

经过调查，很明显，当一个变量接近解时，它对系统没有影响。

处理这样一个问题最聪明的做法是什么？

我希望有一种算法可以在这种情况发生时自行适应。

编辑

这是一个光学优化问题。重点是为光学系统添加一个表面，使其适合某些光学特性。牛顿法找到函数的根，该函数将表面参数作为输入并输出计算的光学特性与目标特性之间的差异。

我注意到如果系统足够复杂，那么我们就会收敛。但是如果系统太简单，表面会变得更加球面，雅可比会变得非常小，因为像散光轴这样的一些参数会变得无影响。

1个回答

根据您的描述，您有一个不适定的问题：解决方案不是唯一的（甚至不是本地的）。处理此问题的标准方法如下：而不是尝试解决 $F(x)=y$ ，在哪里 $x$ 是你的几何参数向量， $y$ 光学参数的向量，和 $F$ 通过前者计算后者的映射，您最小化

J (x) = \frac{1}{2} ‖ F (x) - y ‖^{2} + \frac{α}{2} ‖ x ‖^{2}

$J(x) = \frac12\|F(x)-y\|^2 + \frac\alpha2\|x\|^2$ 对于一些（小）。最后一项确保（局部）唯一性：在的所有解决方案中，它将选择具有最小范数的解决方案（在您的情况下，如果任何角度将给出相同的表面，则最小化器将具有零角度）。

α > 0

$\alpha>0$

F (x) = y

$F(x)=y$

然后，您可以使用任何优化方法（例如，具有线搜索全球化的 BFGS）计算最小化器，如 Nocedal 和 Wright Numerical Optimization书中所述。

对于大多数方法，您需要的梯度，由其中是雅可比矩阵的转置。如果可能的话，您应该尝试分析地计算雅可比并（大约）评估它。（如果您添加的数学描述，我们可能会提供帮助。） $J(x)$

\nabla J (x) = \nabla F (x)^{T} (F (x) - y) + α x,

$\nabla J(x) = \nabla F(x)^T (F(x)-y) + \alpha x,$

\nabla F (x)^{T}

$\nabla F(x)^T$

F

$F$

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