关键步骤是考虑平流方程 $u_t + au_x = 0$ 在哪里$a=\omega/k$是平流速度。这个方程的精确解的形式是$u(x,t) = f(x-at)$， 在哪里$f(y)$是一个任意函数。

例如，使用标准 Galerkin 方法离散化，我们推导出弱形式 $\int_\Omega v u_t dx + \int_\Omega a u_x = 0$

假设 SEM 解决方案的形式为 $u(x,t) = \sum_j u_j N_j(x)$

并选择测试功能$v=N_i(x)$，我们可以推导出方程的代数系统 $M \frac{d}{dt} {\bf u} + a S {\bf u} = 0$

在哪里 $M_{ij} = \int_\Omega N_i N_j dx, \quad S_{ij} = \Omega N_i N_j' dx$

假设解决方案 ansatz $u(x,t) = A \exp( i (k x - \omega t) )$ 我们可以将其插入到解向量中，以导出形式为的广义特征值问题 $-i \omega M {\bf u} + a S {\bf u} = 0$

我们可以引入一个无量纲变量 $-i \Omega M {\bf u} + S {\bf u} = 0$

在哪里$\Omega = \frac{\omega h}{a}$,$h$是元素大小和$a$是平流速度。

通过求解特征对$(v,\lambda)$广义特征值问题的$Av=Bv\lambda$，我们可以得到角频率的估计$\omega$可用于表征数值离散度。这$\lambda\approx \Omega$.

在 Matlab 中，这可以实现为

B = 1i*M；A = S; [V,D] = eig(A,B);

其中 D 包含系统的特征值，V 包含特征向量。D 中包含的与解析最接近的数值被假定为物理特征模态的近似值。

此外，值得注意的是，M 和 S 都被构造为周期性的。