对于使用 FEM 求解源自 PDE 的线性问题，例如 Poisson 方程或波动方程，通常使用“最简单”的数值求积，该求积对定义质量/刚度矩阵的量进行精确积分。更准确地说，给定形状函数$\phi_k$对于节点$k$在一个元素上$K$，我们使用一个求积规则来精确积分表达式

$$\int_K \phi_i \, \phi_j \, \mathrm{d} x$$

对于每个组合$i$和$j$对于质量矩阵，和

$$\int_K \nabla \phi_i \, \nabla \phi \, \mathrm{d} x$$ 为刚度矩阵。事实证明，对于其他线性问题，例如线性弹性，我们可以使用相同的求积法则，因为矩阵的分量是由常数乘以基函数梯度的乘积组成的。

然而，对于许多非线性问题，例如具有 Neo-Hookean 材料模型的非线性弹性，或其他涉及超越函数的模型，我们无法使用标准求积规则准确评估积分。

我的理解是，在这些情况下，经验法则是使用与线性问题相同的求积；据推测，与其他误差源相比，由于不精确积分导致的正交误差很小。另一个似乎非常重要的标准是确保我们不会丢失矩阵的秩。换句话说，我们的近似矩阵的秩应该与通过精确积分得到的矩阵的秩相同。

我正在寻找讨论在非线性但平滑的标准 FEM 设置中选择正交的文献（忽略不连续的材料参数或非标准离散化）。特别是，我有几个问题的答案对我来说并不直接显而易见：

1. 我们能否对正交规则提出“最低”要求，以便与精确积分相比，我们不会失去矩阵的秩？使用与线性问题相同的求积是否足够？
2. 是否存在我们需要比“线性问题求积”更高的准确度的突出示例？
3. 除了我在这里列出的问题之外，还有其他问题吗？(*)

任何建议、指示或见解都将受到欢迎！

(*)在某些特殊情况下，捕捉某些特征可能很重要。例如，对于 Neo-Hookean 弹性模型，您可能希望有足够的正交点来合理地确保变形梯度的行列式在整个单元中保持为正，以防止单元的局部反转。