认为$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$是对称且正定的，并且我们有几个对称矩阵$B_i\in\mathbb{R}^{n\times n}$是低级和不确定的。 我需要一个算法来解决以下优化问题：

$$\begin{align*} \min_{x\in\mathbb{R}^n}\ & x^\top Ax\\ \textrm{s.t.}\ & \|x\|_2^2=1\\ & x^\top B_i x=0\ \forall i\in\{1,\ldots,k\}. \end{align*}$$ 有什么建议？

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我希望它在某种程度上等同于特征值问题。各种观察：

• 如果第二个约束被移除，输出是最小的特征向量$A$.
• 拉格朗日乘数表达式为$Ax=\lambda x + \sum_i \mu_iB_ix$. 所以，如果我们以某种方式知道对偶变量$\{\mu_i\}_{i=1}^k$， 然后$x$是一个特征向量$A-\sum_i\mu_i B_i$具有最小特征值$\lambda$. 所以，我们可以想到$x$作为一个非常非线性的函数$x(\mu_1,\ldots,\mu_k)$.
• 如果其中之一$B_i$是正定的，那么这个问题是不可满足的（暗示$x=0$）。但是对于我的具体问题，我可以证明可行区域是非空的。
• 这可以使用半定松弛来解决，但这对于大型$n$.