计算科学 - 能不能把这个简单的二次优化问题变成一个简单的特征值问题？ - 吾爱随笔录 - 问答

能不能把这个简单的二次优化问题变成一个简单的特征值问题？

计算科学特征值约束优化二次规划

2021-12-18 10:41:42

我对此表格上的某类问题感兴趣

min_{x} x^{T} A x + x^{T} b s.t x^{T} x = 1

$\min_{x} x^{T}Ax+x^{T}b \quad \text{s.t} \quad x^{T}x=1$

在哪里 $A$ 是肯定的。如您所见，如果不是因为 $x^{T}b$ 目标中的术语，这将等效于找到具有最小特征值的特征向量 $A$

当这个问题变得微不足道时 $A=I$ , 解决方案将在表单上 $x=s b$ , 带有一些标量 $s$ .

如果知道的特征向量/值是否存在封闭形式的解决方案 $A$ ? 我试过这个，但我一直在转圈......
这种类型的问题可以根据 $A$ 和 $b$ 使解决方案 $x$ 成为某个派生矩阵的特征向量/值 $B$ ?

1个回答

至少对于第二个问题，答案是肯定的。例如，参见 Mattheij、Robert MM 和 Gustaf Söderlind。“关于非齐次特征值问题。我。” 线性代数及其应用 88（1987）：507-531，第 516 页。

（你的问题的最优条件，

A x + b + 2 λ x = 0 x^{T} x = 1

$Ax+b+2\lambda x = 0 \\ x^Tx = 1$ 构成不齐特征值问题）

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