我必须数值求解非线性偏积分微分方程。这是我的方程式，

$$\frac{\partial y(x,t)}{\partial t}=\int_{-1/2}^{1/2} \frac{\pi\cos u}{\sin\pi u-\sin\pi x} \frac{\partial y(u,t)}{\partial u}\mathrm du-\sin\,y(x,t)$$

内核有一个奇点$x=u$并在边界处消失（$u=-1/2,1/2$）。回答$y$是一个函数$x,t$. 目前我并不担心初始条件。

注意，积分内的导数是空间分量的一阶导数，方程具有非线性$\sin(y(x,t))$. 求解这个方程不需要边界条件（这一切都由 kerenl 处理）。

解决这个方程的可能的数值方法是什么？