我有一个复杂的非厄米矩阵，为此我需要在广义特征值问题中找到一些特征值和特征向量：$\mathbf{A}$

$$\mathbf{A}\cdot \mathbf{x} = \lambda \mathbf{B} \cdot \mathbf{x},$$

与实对称正定矩阵。我目前使用的是 ARPACK 例程的 Python 包装器。$\mathbf{B}$scipy.sparse.linalg.eigs

我已经成功地找到了特征值和右特征向量，但是我还需要相应的左特征向量满足：

$$\mathbf{y}\cdot\mathbf{A} = \lambda \mathbf{y}\cdot \mathbf{B}.$$

（根据我的符号，这些左特征向量不需要复共轭，但显然撤消复共轭很容易）。

据我所知，scipy 和 ARPACK 都没有为这个问题提供现成的解决方案，它们不能被轻易地修改以提供两组向量。我遇到的可能的解决方案是：

1. 转置我的矩阵并再次调用. 这显然是低效的，我不确定返回的特征值是否保证具有相同的值并且具有相同的顺序，因此匹配左右特征向量可能不可靠。$\mathbf{A}$eigs

2. 使用逆迭代，从数值食谱第 2 版第 11.7 节推断。解决

   $$(\mathbf{A}^T - \lambda\mathbf{B})\cdot \mathbf{y} = \mathbf{b}$$

   迭代为，从一些随机向量开始。这种方法的问题在于，在退化特征值的情况下，它可能找不到完整的特征向量，我希望在某些情况下会看到这种情况。$\mathbf{x}$$\mathbf{b}$

是否有更好的解决方案可用，或者可以修复我提出的解决方案以克服其（感知的）限制的方法？