在一个约束优化问题中，我在一篇论文中发现了一种定义新变量的方法，使得约束消失。他们只给出新的变量定义，我想了解他们是如何做到的。

上下文是热力学。的混合物$c$组分可以相分离成$p$阶段。 $z_i$是组分的总摩尔数$i$和$n_{ij}$是组分的摩尔数$i$在阶段$j$. 自由能$G(\{n_{ij}\}_{ij})$是已知的。问题是找到组成$\{n_{ij}\}_{ij}$最小化自由能$G$.

质量守恒给出了约束

$\sum_{j} n_{ij} = z_i$

$0 \leq n_{ij} \leq z_i$

由此，本文定义了新变量$\beta_{ij}$

$n_{i1} = \beta_{i1} z_i ~~~~~~~~~~~~i=1,...,c$

$n_{ij} = \beta_{ij} (z_i - \sum_{m=1}^{j-1} n_{im}) ~~~~~~~~~ i=1,...,c ~~~~~~~~ j=2,...,p-1$

$n_{ip}=z_i - \sum_{m=1}^{p-1}n_{im} ~~~~~~~ i=1,...,c$

和$\beta_{ij} \in [0:1]$问题是知道不受约束

任何帮助和指导，如果能让我了解作者如何实现这种可变变化，将不胜感激。

谢谢你。

问题来源：Srinivas, Rangaiah，“使用禁忌列表进行全局优化的差分演化及其在相位平衡和参数估计问题中的应用”。工业工程。化学。水库。2007, 46, 3410-3421