计算科学 - 特征值的零实部是什么意思？有什么好的参考吗？ - 吾爱随笔录

计算科学流体动力学特征值稳定双曲-pde 平流

2021-12-24 22:24:14

我正在解决形式的一维平流问题，其中 {Q} 是未知数向量，[A] 是空间离散系数矩阵。我已经计算出 [A] 的特征值，以了解半离散系统的稳定性，并且得到实部加虚部为零的特征值。这有什么好的参考吗？

d Q / d t = [A] Q

$dQ/dt=[A]Q$

2个回答

特征值为零的特征值对应于纯振荡模式。您可以通过对系统进行对角化来查看它。您的矩阵可以写为其中是一个对角矩阵，其中条目对应于的特征值。您现在可以将 ODE 转换为因为和不依赖于。在转换后的坐标。系统解耦成 $A$

A = P Σ P^{- 1}

$\begin{equation} A = P \Sigma P^{-1} \end{equation}$

Σ

$\Sigma$

λ_{n}

$\lambda_n$

Q

$Q$

d Q / d t = P Σ P^{- 1} Q \Rightarrow d (P^{- 1} Q) / d t = Σ (P^{- 1} Q)

$\begin{equation} dQ/dt = P \Sigma P^{-1} Q \Rightarrow d (P^{-1}Q)/dt = \Sigma \left( P^{-1} Q \right) \end{equation}$

A

$A$

P

$P$

t

$t$

R := P^{- 1} Q

$R:=P^{-1}Q$

d R / d t = Σ R

$\begin{equation} dR/dt = \Sigma R \end{equation}$ 因此，由于是对角线，因此可以分解为多个独立的 ODE 的第 n 个条目。此标量 ODE 有解根据欧拉公式，对于，即实部为零，这变为

Σ

$\Sigma$

d r_{n} / d t = λ_{n} r_{n}

$\begin{equation} d r_n / dt = \lambda_n r_n \end{equation}$

r_{n}

$r_n$

R

$R$

r_{n} (t) = r_{n} (0) \exp (λ_{n} t)

$\begin{equation} r_n(t) = r_n(0) \exp(\lambda_n t) \end{equation}$

λ_{n} = i a_{n}

$\lambda_n = i a_n$

r_{n} (t) = r_{n} (0) (\cos (a_{n} t) + i \sin (a_{n} t)) .

$\begin{equation} r_n(t) = r_n(0) \left( \cos(a_n t) + i\sin(a_n t) \right). \end{equation}$

在二维情况下，这对应于一个椭圆固定点（我相信是一个轨道）。

您可能会研究 Lyapunov 稳定性，希望有人能够推荐一个很好的资源。

稍后我会尝试再看一下，看看我是否可以找到这方面的资源。

更新

对于相关材料，您可以查看极限环或 Poincaré-Bendixson 定理。我设法找到了后者的参考。您也可以尝试在 math.stackexchange 上搜索动态系统参考。

微分方程、动力系统和混沌导论- Hirsch、Smale、Devaney

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