对于双曲偏微分方程的数值求解，黎曼求解器的使用是保守冲击捕获方法的重要组成部分，用于精确模拟可能具有冲击的波浪问题（守恒变量中的不连续跳跃）。为了能够获得此类问题的准确解，我们需要使用适当的逆向技术——黎曼求解器负责这一点。黎曼求解器为单元（fx. 在有限体积中）或元素（fx. 在不连续 Galerkin 有限元方法中）之间的界面问题寻求准确的解决方案。该界面问题的解决方案基于界面任一侧的解决方案，并试图以此为基础来准确重建（数值）通量（根据守恒变量）穿过界面。

有两种标准方法可以解决此类（局部于接口）黎曼问题，即精确和近似黎曼求解器。对于许多 PDE，没有可用的精确封闭形式的解决方案，在这种情况下，我们必须求助于近似 Riemann 求解器。在实践中，精确求解黎曼问题也可能（太）昂贵，在这种情况下，求助于近似黎曼求解器可能更实用。出于同样的原因，Lax-Freidrichs 型助焊剂被广泛用作一种简单的方法。

从本质上讲，黎曼求解器之间的选择与一个人试图以多准确的方式表示解的波速和由此产生的效率有关。

它取决于问题。黎曼问题基于来自单元界面任一侧的数据。为了根据这些数据重建界面处的通量，我们必须了解有关双曲线 PDE 的全波结构的信息。这使得黎曼问题依赖于问题，因此也是黎曼求解器的选择。简而言之，精确求解器寻求考虑全波结构，Roe 求解器基于局部波结构的局部近似（通过线性化和特殊平均），HLL 求解器基于估计局部波中的两个主要波速波结构，然后通过满足 Rankine-Hugoniot 条件来施加守恒，以跨越冲击或接触不连续性。

因此，特定求解器、精确求解器或近似 Roe/HLL/etc 求解器之间的选择取决于在准确性（在模拟模型方程的基本物理过程中）和效率需求之间取得平衡。最后 - 正如我所看到的 - 在实际应用中，通常是效率要求决定了使用近似黎曼求解器（fx. Lax-Friedrichs 类型）。

EF Toro 在他的教科书“流体动力学的黎曼求解器和数值方法”中对这个主题进行了很好的阐述，Springer。

我一直认为，对于低阶数值，需要高质量的黎曼求解器，对于高阶数值，可以使用低质量的黎曼求解器。直观地说，需要一些 FLOP 才能捕捉到下面的物理现象。

而且，是的，从评估指标的角度来看，这个答案中的内容也为零......