对于无约束的线性 SPD 问题，BFGS 收敛匹配无条件的共轭梯度。出现在结构力学问题中的微分算子通常具有许多大特征值的病态，这使得无条件迭代方法非常缓慢。为了处理麻烦的频谱，结构力学求解器依赖于稀疏直接方法或预处理迭代方法（通常使用代数多重网格或域分解）。

相比之下，BFGS 是在优化设置中开发的，其中大多数问题的频谱看起来像网格细化下的积分算子，例如，$I + K$在哪里$K$紧凑。对于这些问题的线性版本，Krylov 方法将在恒定数量的迭代中收敛，与分辨率无关。Hessian 通常是密集的并且实际上无法访问，因此它以未组装的形式应用，只有恒等或对角缩放可以用作“种子”Hessian$H_0$. 因此，BFGS 是一种改进逆 Hessian 的粗略近似的方法。

在解决微分问题时，我们可以使用 BFGS 作为一种滞后方法，从一个很好的近似开始，但构建起来很昂贵。当非线性代表解决问题的一部分困难时，这很有用，但病态条件足够重要以至于需要进行预处理。事实证明，这对于弹性等一些问题非常有效。

Peter Brune 和我最近就此写了一篇简短的论文：

• Brown 和 Brune 2013年牛顿方法中稳健雅可比滞后的低秩准牛顿更新

有关大变形弹性示例，请参见第 9 页的表 II。标准牛顿法需要 10 个 Jacobian 评估、11 个残差评估和 77 个预处理器应用程序（代数多重网格的线性 V 循环；请注意，我们可以使用较少的总预处理器应用程序使用不精确求解，但这会增加 Jacobian 评估的数量） . LBFGS-6 与 AMG 相同的 V 循环用于$H_0$需要 4 个 Jacobian 评估、49 个残差评估和 24 个预处理器应用程序。LBFGS 让我们用 Jacobian 工作换取更多残差评估，同时保持比正常 Jacobian 滞后更快的收敛。

您可以在PETSc中仅使用命令行选项进行尝试，例如

-snes_type qn -snes_qn_restart_type periodic -snes_qn_scale_type jacobian

这种方法对约束弹性的效用将取决于约束变化的速度，但我希望它很有用。我们计划扩展 PETSc 对求解受限系统的支持，以便将这些方法用于弹性接触问题。如果您对此感兴趣，请告诉我们。