计算科学 - 您如何解释内积上的以下界限？ - 吾爱随笔录

您如何解释内积上的以下界限？

计算科学共轭梯度

2021-12-24 22:37:38

我正在阅读一篇关于 CG 稳定性的论文，我遇到了以下声明：

\frac{‖ A ‖ ‖ p ‖^{2}}{⟨ p, A p ⟩} \leq κ (A)

$\begin{equation} \frac{\|A\|\,\|p\|^2}{\langle p,Ap\rangle} \leq \kappa(A) \end{equation}$ 其中

κ (\cdot)

$\kappa(\cdot)$ 是条件数，

⟨ \cdot, \cdot ⟩

$\langle \cdot, \cdot \rangle$ 是内积。

你能帮我理解这个界限吗？我看不出它是如何得出的。作者只是将其作为事实陈述。我错过了什么明显的事实？ $p$ 是搜索方向向量， $A$ 是SPD矩阵。

谢谢！

这是论文：http ://www.cs.cas.cz/tichy/download/public/StTi2004.pdf 声明在第 13 页底部，在等式 4.27 之后的第一行：“使用 (4.5) ——（4.8）和……”

2个回答

界限是以下三个事实的结果：

条件数定义为最大特征值和最小特征值的比值。 $\lambda_\textrm{max}$ $\lambda_\textrm{min}$
对称正定矩阵的谱范数（因为正如 Arnold Neumaier 指出的那样，它是最大奇异值的平方根）。 $\|A\|_2$ $\lambda_\textrm{max}$
根据 Courant-Fischer 定理，对称矩阵的最小特征值满足 $A$
$λ_{min} = min_{x \neq 0} \frac{⟨ x, A x ⟩}{⟨ x, x ⟩} .$ $\lambda_\textrm{min} = \min_{x\neq 0} \frac{\langle x,Ax\rangle}{\langle x,x\rangle}.$

综上所述，对于任何，因为分数只能对任何不是分母的最小值的变小. $p\neq 0$

κ (A) = \frac{λ_{max}}{λ_{min}} = \frac{‖ A ‖}{min_{x} \frac{⟨ x, A x ⟩}{‖ x ‖^{2}}} \geq \frac{‖ A ‖}{\frac{⟨ p, A p ⟩}{‖ p ‖^{2}}} = \frac{‖ A ‖ ‖ p ‖^{2}}{⟨ p, A p ⟩}

$\kappa(A) = \frac{\lambda_\textrm{max}}{\lambda_\textrm{min}} = \frac{\|A\|}{\min_x \frac{\langle x,Ax\rangle}{\|x\|^2}} \geq \frac{\|A\|}{\frac{\langle p,Ap\rangle}{\|p\|^2}} = \frac{\|A\|\|p\|^2}{\langle p,Ap\rangle}$

p

$p$

这假设矩阵是对称的。将其转换为对角线形式，观察奇异值是特征值的绝对值。那么推导本质上简化为条件数的定义为极值奇异值的商。 $A$

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