让我们证明我们不能限制条件数$X^T A X$仅使用条件数$A$和规范$X$.

让$A=I$, 所以它的条件数正好是$1$.

让$X$由一个可逆对角块组成$p$底部填充的零行：

现在$X^T A X = D^2$，其条件数为$\|D^{-2}\|\cdot \|D^2\|$对于一些矩阵范数的选择。虽然的范数可用于限制的范数有多大。$X$$D^2$$D^{-2}$