PDE 的弱形式意味着，在某种意义上，“对可以使用的函数种类的限制更少”来构建解决方案。

为了正确看待它，回想一下在 FEM 中，您要寻找以下形式的解决方案：

其中是未知的标量系数（将被求解），是一些已知函数。主要问题是：我们允许选择什么样的函数$u_j$$\phi_j$$\phi_j$

嗯……在经历了一个非常冗长、乏味和数学迂腐的证明之后，我们得出了一个非常好的结论，这对于想要实现 FEM 的工程师来说非常方便：

1. 所有在边界上的值必须为零。$\phi_j(x)$

2. 如果 PDE 的弱形式具有最大阶的弱导数，则函数具有阶的连续性就足够了。$k$$\phi_j(x)$$k-1$

条件 #1 很容易理解： 在问题域边界的所有点上 $\phi_j(x)=0$

条件 #2 并不完全明显（也不是 100% 在数学上或学究式上正确；只是“为了工程师的缘故足够接近”）。但是条件 #2 是最有用的部分，因为它揭示了的连续性约束。例如，采用弱形式的泊松方程（假设齐次狄利克雷边界条件）$\phi_j$

该方程具有最大阶 k=1 的弱导数，因为这里的梯度实际上是一阶弱导数（如果弱形式具有拉普拉斯算子，则 k=2；等等...）。因此，您可以选择一个函数空间，使得具有零阶连续性。换句话说，您可以在整个域中使用连续但不一定平滑的函数。这为您构建一组满足条件 1 的函数提供了很大的灵活性。$\nabla^2$$\phi_j(x)$

为什么这很重要？因为，在 FEM 中，我们还寻求第三个可取的（尽管不是绝对必要的）条件：

3. 我们希望刚度矩阵尽可能稀疏。

这第三个条件很重要，因为它意味着我们应该使用函数，它不仅在边界上为零，而且在除域的小子区域之外的任何地方都“几乎”为零。对应于给定的每个子区域应该只与对应于其他函数的少量其他子区域重叠。$\phi_j$$\phi_j$

我们可以使用这个条件，同时利用条件 #2 来产生一个理想的函数选择。拉格朗日多项式就是这样一组满足所有三个条件的函数。当然，拉格朗日多项式不是唯一的选择，但从初学者的角度来看，它可能是最容易理解的。这些函数在任何地方都为零，除了在它们是分段线性、二次、三次等小区域内也大多为零，因此刚度矩阵也将非常稀疏。$\phi_j$$\phi_j(x)$$j$

我只是想提醒您，我在这里淡化了很多数学知识，并且条件 #2 仅“对于工程师的观点而言大致正确”，并且在数学上并不是 100% 正确的。我把它留给这个网站上大量有数学倾向的用户来指出夸大条件 #2 在现实中的严重程度。

这与你所拥有的恰恰相反。您使用弱形式来增加规律性（或者，允许您以较少的规律性解决问题）。集成总是很顺利。

直觉其实很简单：对于“大多数”函数，如果你取一个积分，那么它的导数存在（它的导数就是你刚刚积分的东西！）。很多时候，您可能想要求解不一定具有导数的 PDE，因此您只需求解积分的 PDE。

一个常见的例子是处理阶跃函数。阶跃函数是不可微分的，但从某种意义上说，它的“弱导数”是狄拉克三角洲（例如，阶跃函数的积分具有像狄拉克三角洲一样积分的导数），因此要使一切正常，您只需积分到处。

现在，您可以为不可严格区分的事物提供 PDE，并且您只需告诉人们“如果您查看它的积分就行了”。那是弱形式。

[注：还有很多细节。例如，Sobolev 空间是 Lebesgue 空间的推广。由于函数不是函数，而是函数的等价类，根据某种度量，它们几乎在所有地方都相等，因此它们没有逐点值，因此它们仅在它们如何集成方面才有意义（再次通过积分“平滑”）。等等。但这都是说的想法：使用积分进行平滑，并通过部分积分来定义导数。] $L^2$