计算科学 - 具有正交性约束的微分方程积分 - 吾爱随笔录

计算科学颂约束优化龙格库塔约束

2021-12-24 00:16:28

假设我有一个微分方程组，其形式为

{\dot{C}}_{α, β, m} = f_{α, β, m} (C_{α, β, 1}, \dots, C_{α, β, N}; t) .

$\dot{C}_{\alpha,\beta,m} = f_{\alpha,\beta,m}(C_{\alpha,\beta,1},\ldots,C_{\alpha,\beta,N};t).$ 这

f

$f$ s 是时间和时间的一些函数

C

$C$ s。确切的形式并不重要。

原则上，这可以通过简单的 RK4 算法来解决。但是，现在有额外的（正交性）约束

\sum_{α, β} C_{α, β, m}^{*} C_{α, β, n} \overset{!}{=} δ_{m, n},

$\sum_{\alpha,\beta}C_{\alpha,\beta,m}^* C_{\alpha,\beta,n} \stackrel{!}{=} \delta_{m,n},$ 应该随时保持

t

$t$ . 星号表示复共轭。

我现在的问题是，如何在我的集成方案/RK 4 算法中实现此约束。

1个回答

一般来说，不能指望 rk4 保持系统的二次不变量，它根本不这样做。确实保持特定不变量的方法必须经过专门设计——这通常称为几何积分。辛积分器是这些方法中最常见的一种，尽管不适合您的问题。

合并约束的最简单方法可能是将近似解投影到约束流形上（“投影方法”，示例 1.3，上述 Hairer 注释中的第 21 页）。给定一个 ODE 系统

\dot{X} = f (t, X), X^{*} X = I,

$\dot X = f(t, X), \qquad X^*X=I,$ 定义

π (X)

$\pi(X)$ 成为最接近的酉矩阵

X

$X$ . 如果

X = U H

$X = UH$ 是的极性分解

X

$X$ ，然后

π (X) = U

$\pi(X) = U$ .

最简单的是在每个 RK 步骤之后投影到约束流形上， $\tilde X_{n+1} = \pi(X_{n+1})$ . 第二种最简单的方法是将 ODE 重写为

\dot{X} = f (t, π (X)),

$\dot X = f(t, \pi(X)),$ 这会将投影合并到 RK 子步骤中。（这实际上并没有修改 ODE，因为

π (X) = X

$\pi(X)=X$ 对于任何精确的解决方案。）

除此之外，约束流形被称为Stiefel 流形，并且似乎已经有一些关于 Stiefel 流形的数值积分的文章。

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