假设我有以下问题：

$U_{tt}=U_{xx}+U_{yy}$在 on$\Omega=[0,1]\times[0,1]$
$U(x,y,0)=f(x,y)$
$U_{t}(x,y,0)=g(x,y)$
$U=0$$\partial \Omega$

我知道有一个明确的有限差分方案来解决这个形式的问题：

$\frac{U(i,j,k+1) - 2U(i,j,k)+U(i,j,k-1)}{\Delta t^2} = \frac{U(i+1,j,k) - 2U(i,j,k)+U(i-1,j,k)}{\Delta x^2} + \frac{U(i,j+1,k) - 2U(i,j,k)+U(i,j-1,)}{\Delta y^2}$

通过使用居中的时间有限差。我的想法是可以简单地将 k 更改为 k + 1 以获得隐式方案，但我还没有制定出随后的截断误差或稳定性分析。我的猜测是它可能是错误的......我如何为这个 PDE 导出一个隐式方案？