我已经在 IPython notebook 中使用 PyClaw 实现了下面派生的解决方案。如果您下载它，您可以调整初始值并查看计算的解决方案。

一般设置

在一维欧拉方程的黎曼问题的解中，一般有 3 个波。其中两个是真正非线性的。另一种是接触不连续性，它只会带来密度的跳跃。我的理解是，您想设置初始左右状态，使得速度在任何地方最初都为零，最右边的波是相对于右状态声速移动的冲击波，最左边的波是稀疏化（您没有指定最后一个要求，但它会使问题类似于 Sod 冲击管）。下图描述了这种情况，它也建立了我将使用的符号。$M$

寻找震惊背后的状态

设

$$\mu = \frac{2(M^2-1)}{M(\gamma+1)}.$$

使用 Rankine-Hugoniot 条件，我们发现接触右侧的状态由以下给出：

$$\begin{align} \rho_r^*& = \rho_r \frac{M}{M-\mu} \\ u & = \mu c_r \\ p & = p_r \frac{(2M^2 -1)\gamma+1}{\gamma+1}. \end{align}$$

如果您愿意为左侧状态设置一个非零速度，您可以在这里停下来并使用刚刚为左侧状态导出的值。如果你想要，请继续阅读。$u_l=0$

寻找左侧状态

接下来，我们知道左状态和状态必须通过左向稀疏连接。相关的黎曼不变量意味着$[\rho_l^*, u, p]$

$$\rho_l = \frac{4\gamma p_l}{(\gamma-1)^2 u^2} \left(1- \left(\frac{p}{p_l}\right)^{\frac{\gamma-1}{2\gamma}}\right)^2$$

和

$$\rho_l^* = \left(\frac{p}{p_l}\right)^{1/\gamma} \rho_l.$$

因此，我们可以为指定任何我们喜欢的值，并根据上面的等式计算剩余的值。唯一的问题是生成的稀疏应该满足熵条件，如果则为真。$p_l$$\rho_l,\rho_l^*$$p_l>p$

笔记

我使用Randall Leveque 关于有限体积方法的文本的第 14 章解决了这个问题。

有一个可能的左状态的 1 参数族（一旦您检查未知数和约束的数量，这似乎很明显）。

如果您没有将左态速度限制为零，则可以通过将左态设为来设置仅出现冲击波的问题。但是由于您想要零初始速度，因此有必要使用上述完整过程。$(\rho_r^*, u, p)^T$

如果我记得我的可压缩物，您想使用正态冲击方程。您还需要选择一个。$\gamma$