矩阵的 Moore-Penrose 伪逆具有以下性质

$x=A^{\dagger}b$

是最小二乘解，并且在所有最小二乘解中（如果存在的非平凡零空间），的最小二乘解 。 $A$$x$$\| x \|_{2}$

当涉及到离散化 PDE 并求解由该离散化产生的线性方程组时，使用伪逆将为您提供最小二乘解，以最小化的范数，但这取决于您使用的离散化（甚至改变线性方程组的基），最小化向量的范数可能不等于最小化解的范数。 $Ax=b$$x$$x$

很容易构建不起作用的基础示例。

如果您的基础更改是正交的，那么您实际上会没事的。例如，考虑使用离散傅里叶变换作为基的变化。

这取决于您如何定义伪逆。如果您将其定义为产生最小范数元素的运算符，那么您将得到具有最小范数 ，其中是任意选择的解决方案和是一个常数。一般来说，当然，的平均值不会为零，但它是唯一的。$L_2$$u=u_0+c$$\|u_0+c\|_{L_2}$$u_0$$c$$u$

如果您的伪逆是通过 SVD 定义的，则相应的奇异向量将跨越中的零空间，因此它存在。但是，鉴于问题的普遍性，您将不得不再回答两个问题才能得到您的答案：$U_h$

1. 您的离散空间实际上是否包含零空间？例如，您可以使用边界上具有消失值的有限元空间（这不被您当前的问题排除）。在这种情况下，您的运营商实际上是确定的。

2. 离散零空间是连续子空间的子空间吗？我无法举出 Neumann 问题的示例，但是如果您查看有关发散一致离散化的大量文献，您会发现确实可能存在一个离散的零空间，它不在连续算子的内核中。

如果你对这两个问题的回答都是肯定的，那么你的有限元是不可解的，并且你的离散子空间是一致的，那么答案是肯定的。但这还没有告诉你，在什么意义上它是一个投影。这就是选择基础以及定义 SVD 的离散内积发挥作用的地方。