计算科学 - 将广义特征向量问题处理为普通特征向量问题 - 吾爱随笔录

将广义特征向量问题处理为普通特征向量问题

计算科学线性代数矩阵本征系统

2021-11-27 02:27:24

令表示具有列线性无关的矩阵，令表示对称矩阵。此外，令表示具有正项的对角矩阵。 $X\in\mathbb{R}^{n\times p}$ $p$ $L\in\mathbb{R}^{n\times n}$ $D\in\mathbb{R}^{n\times n}$

现在假设我们对计算对称广义定特征问题的解感兴趣，

A v = λ B v,

$A v = \lambda B v,$

其中对称矩阵和（其中也是正定矩阵）由上面的矩阵、和隐式给出，其中和。 $A$ $B$ $B$ $X$ $L$ $D$ $A = X^T L X$ $B = X^T D X$

我遇到了一篇论文，该论文声称我们可以解决涉及修改的等效标准特征值问题。特别是，如果我们与正交化，比如，那么 $X$ $X$ $D$ $\tilde X^T D \tilde X = I$

{\tilde{X}}^{T} L \tilde{X} u = λ u

$\tilde X^T L \tilde X u = \lambda u$

也是原始广义特征问题的特征对。我们如何证明这是真的？

1个回答

设，其中。然后我们可以重写 $X=\tilde X Z$ $\tilde X^T D \tilde X=I$

(X^{T} L X) v = λ (X^{T} D X) v

$(X^T L X)v = \lambda (X^T D X) v$

作为

(Z^{T} {\tilde{X}}^{T} L \tilde{X} Z) v = λ (Z^{T} Z) v .

$(Z^T \tilde X^T L \tilde X Z) v = \lambda (Z^T Z)v.$

现在，把，并将上一个方程的两边都预乘以找到 $u=Z v$ $Z^{-T}$

{\tilde{X}}^{T} L \tilde{X} u = λ u .

$\tilde X^T L \tilde X u = \lambda u.$

值得注意的是，与你的最后一句话相反，和并不相同，而是通过方程相关联。因此，在用求解标准特征值问题后，需要用求解线性系统才能找到原始特征向量。 $u$ $v$ $u=Z v$ $\tilde X^T L \tilde X$ $Z$

同样重要的是要注意， $D$ 是正的对于正交归一化的能力至关重要 $X$ 关于 $D$ . 考虑以下情况 $D=-I$ . 然后要求 $\tilde X^T D \tilde X = I$ 相当于要求 $\tilde X^T \tilde X = -I$ ，这是不可能的 $\tilde X$ （也不是在复杂的情况下，当我们用 Hermitian-transposes 替换 transposes 时）。什么时候 $D$ 为正，我们可以定义

Z = \sqrt{X^{T} D X},

$Z = \sqrt{X^T D X},$

这将存在，因为 $X^T D X$ 将是正定的。

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