正如您正确指出的那样，FD 的两点中心方案是局部二阶方案，这使其成为全局一阶。我认为您缺少的重要一点是，在空间网格边缘具有指定值的 FD 方案中，您始终位于域内。由于值是已知的，因此您永远不必在边界处近似一阶导数。如果你没有在边界评估你的 DE，你不必担心你的错误，因为没有任何错误。

现在，如果您有二阶空间导数，对于其他类型的边界条件，事情会变得更加复杂，因为您必须确保边缘处的有偏方案至少与内部方案一样高阶。

编辑：查看您对其他答案的评论，这就是我认为您被挂断的地方。

当您分析标准内部节点时，您以

$\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=f'(x)+O(h^2)$

所以你有二阶本地错误。您通过使用泰勒展开式达到了这一点

$f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \frac{f''(x)h^2}{2} + H.O.T.$

以及左侧邻居的类似扩展。现在想象一下，您正位于具有指定函数值的边界旁边的节点处。扩张

$g =f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \frac{f''(x)h^2}{2} + H.O.T.$

仍然成立。您之前的分析仍然适用于添加的信息，因为您对一阶导数的近似假设您可以准确地评估左右邻居的函数。的事实是无关紧要的，因为你已经表现得像给你和一样。希望这对您来说更清楚一些。$g$$f(x+h)$$f(x-h)$

您可以在您的方案中非常容易地使用边界条件。如果您有狄利克雷边界条件，这意味着指定边界处的值，您只需使用它们而不是或。$f(x+h)$$f(x-h)$

仅当您具有复杂的形成边界（即二维中的弯曲边界）时，您的方案的准确性可能会降低。然后您必须使用 Shortley-Weller 方案，该方案仅是一阶准确的。