计算科学 - 算子的半有界性及其对稳定性的影响 - 吾爱随笔录

我记得在 Kreiss 的“时间相关偏微分方程及其数值解”一书中看到，如果某些椭圆微分算子满足

(L u, u) \leq K (u . u)

$(Lu,u)\leq K(u.u)$ 对于方程

u_{t} = L u + f

$u_t=Lu+f$ 在某些边界条件下，可以证明方程是稳定的，即持续依赖于初始数据。然而，当我想到

L := u^{″}

$L:=u''$ 和 on作为的解决方案，我在两端的边界条件为零，与无关。然后我们可以计算 and 显然，不等式的增加不成立，即使二阶导数是一个适当的椭圆算子。我在这里想念什么？我没有把证明放在这里，只是几行，但是上面的例子与陈述相矛盾。

u = - \sin (n x)

$u=-\sin(nx)$

(0, π)

$(0,\pi)$

u_{t} = u^{″} + n^{2} \sin (n x)

$u_t=u''+n^2\sin(nx)$

n

$n$

(L u, u) = (u^{''}, u) = \int u^{''} u d x = n^{2} \int \sin^{2} (n x) d x

$\begin{equation} (Lu,u)=(u^{\prime\prime},u) = \int u^{\prime\prime} udx = n^2 \int \sin^2(nx)dx \end{equation}$

(u, u) = \int u^{2} d x = \int \sin^{2} (n x) d x

$\begin{equation} (u,u)= \int u^2dx = \int \sin^2(nx)dx \end{equation}$

(L u, u) \leq K (u, u)

$(Lu,u)\leq K(u,u)$

n

$n$

那么估计什么时候成立呢？ $(Lu,u)\leq K(u.u)$