计算科学 - 为什么将两个一阶导数有限差分矩阵相乘不能给出二阶导数矩阵？ - 吾爱随笔录

为什么将两个一阶导数有限差分矩阵相乘不能给出二阶导数矩阵？

计算科学有限差分

2021-12-14 03:06:11

一阶导数的有限差分矩阵是

$\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ 。

二阶导数的有限差分矩阵是

$\begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}$ 。

$\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 。

为什么将两个一阶导数矩阵相乘不能得到二阶导数矩阵？

2个回答

查看运算符如果你将它扩展为小的你到达。因此在极限中为（应该如此），但请注意，该误差是中的一阶误差，因此它不是一个很好的近似值。

D_{+}^{2} u = \frac{u_{n + 2} - 2 u_{n + 1} + u_{n}}{Δ x^{2}} .

$D_+^2 u = \frac{u_{n+2} - 2 u_{n+1} + u_n}{\Delta x^2}.$

Δ x

$\Delta x$

D_{+}^{2} u = u_{x x} - Δ x u_{x x x} + O (Δ x^{2})

$D_+^2 u = u_{xx} - \Delta x u_{xxx} + O(\Delta x^2)$

D_{+}^{2} = D^{2}

$D_+^2 = D^2$

Δ x \to 0

$\Delta x \to 0$

Δ x

$\Delta x$

相反，考虑一下你正在考虑的那个再次进行泰勒展开，我们有因此，这种近似实际上更好，因为误差是二次下降而不是线性下降。

D_{-} D_{+} u = \frac{u_{n + 1} - 2 u_{n} + u_{n - 1}}{Δ x^{2}} .

$D_- D_+ u = \frac{u_{n+1} - 2 u_n + u_{n-1}}{\Delta x^2}.$

D_{-} D_{+} u = u_{x x} + \frac{Δ x^{2}}{12} u_{x x x x} + O (Δ x^{4}) .

$D_- D_+ u = u_{xx} + \frac{\Delta x^2}{12} u_{xxxx} + O(\Delta x^4).$

然而，在极限范围内，它们是等价的。

您的矩阵定义不明确。例如，二阶导数算子取三个连续的数据值并输出一个二阶导数值。这不是通过写一个方阵来表达的。

有一个公认的有限差分微积分。您可以找到标题中带有该短语的书籍，并且您会发现所有内容都是一致且有用的

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