计算科学 - 使用低通滤波器寻找具有积分项的简单系统的数值稳定性 - 吾爱随笔录

作为一个玩具问题，我正在研究以下形式的经典二阶系统：

\begin{aligned} \ddot{x} (t) + c \dot{x} (t) + k x (t) = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \ddot{x}(t) + c \dot{x}(t) + k x(t) = 0 \end{align}$

而不是上面的基本系统，我想用的低通滤波版本。这可以将等式更改为以下形式： $x(t)$ $x(t)$

\begin{aligned} \ddot{x} (t) + c \dot{x} (t) + \frac{k}{τ} \int_{0}^{t} \exp (\frac{- (t - \hat{t})}{τ}) x (\hat{t}) d \hat{t} = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \ddot{x}(t) + c \dot{x}(t) + \frac{k}{\tau} \int_{0}^{t} \exp\left(\frac{-(t-\hat{t})}{\tau}\right)x(\hat{t}) d\hat{t} = 0 \end{align}$

鉴于这种形式，我如何能够分析地找到数值稳定性？在原始系统中，我可以将其分解为两个一阶 ODE 的系统，并分析将自变量与其导数相关联的矩阵的特征值。在后一种情况下，我认为这样的策略行不通。

这个问题是由我自己和一位同事在模拟导弹系统时注意到的经验观察引起的，发现无论步长如何，显式欧拉都会产生很大的误差，但对于 4 阶龙格库塔来说可以正常工作。我们在我们武器的两个单独的模拟代码库上复制了它，所以它似乎不仅仅是代码中的潜在错误。

由于我们的系统可以近似地被视为具有低通滤波器的二阶系统（由于用于状态估计的过滤传感器），我有兴趣尝试从准确性和稳定性的角度理解第二个方程。任何有关如何分析此场景的提示或见解将不胜感激。