计算科学 - 角分数正切的高效计算 - 吾爱随笔录

计算科学数值分析特殊功能

2021-12-03 03:52:17

我要计算 $a = \tan(f \theta)$ 为了 $f\in [0,1]$ , 给定 $g = \tan\theta$ . 显然，我可以计算 $a = \tan(f\tan^{-1}g)$ ，但我想知道是否有更有效的方法可以避免评估两个超越函数。

我碰巧也想要数量 $b = \tan[(1-f)\theta]$ , 我相信身份

a + b + g a b - g = 0

$a+b+gab-g=0$ 持有。我可以合理地保证

0 \leq g ≲ \frac{1}{2}

$0\le g \lesssim \frac{1}{2}$ ，所以正切和反正切都是线性的。如果碰巧有任何有效的方法，我认为这个假设应该会有很大帮助。这里的重点是准确性和稳健性。

1个回答

我想不出任何有用的三角恒等式可以帮助评估所以我会尝试级数展开但我怀疑如果专注于准确性和鲁棒性，您可以做得比调用.

a = \tan (f \tan^{- 1} g)

$\begin{equation} a = \tan ( f \tan^{-1} g) \end{equation}$

f g + \frac{1}{3} f (f^{2} - 1) g^{3} + \frac{1}{15} f (2 f^{4} - 5 f^{2} + 3) g^{5} + \dots

$\begin{equation} fg + \frac{1}{3}f(f^2-1)g^3 + \frac{1}{15}f(2 f^4 - 5f^2 + 3) g^5 + \ldots \end{equation}$ tan(f*atan(g))

一旦你知道和，你就可以通过切角减法计算与，，导致这证明了你的身份。 $a$ $g$ $b$

\tan (α - β) = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β}

$\begin{equation} \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha \, \tan\beta} \end{equation}$

α = θ

$\alpha = \theta$

β = f θ

$\beta = f\theta$

b = \frac{g - a}{1 + g a}

$\begin{equation} b = \frac{g-a}{1+ga} \end{equation}$

（免责声明：我不是这方面的专家，但在高中时我的三角学非常好，所以我忍不住回答这个问题......）

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