计算科学 - 找到 Tricomi 合流超几何函数作为其参数函数的零点的稳健方法 - 吾爱随笔录

我正在解决一个量子力学问题，而量化条件需要我解决方程

U (\frac{1}{2} (ℓ + 1 - E), ℓ + 1, r^{2}) = 0,

$U\left(\frac12(\ell+1-E), \ell+1, r^2\right) = 0,$ 其中是第二类合流超几何函数，是一个固定的正实数，是一个固定的非负整数；我正在寻找能量参数，作为其他两个参数和的函数。

U (a, b, z)

$U(a,b,z)$

r > 0

$r>0$

ℓ \geq 0

$\ell\geq0$

E_{1}, E_{2}, E_{3}, \dots

$E_1,E_2,E_3,\ldots$

E

$E$

r

$r$

ℓ

$\ell$

到目前为止，我发现的最好的方法是使用零的渐近线DLMF (13.9.16)FindRoot作为 Mathematica函数的起点：

Block[{ℓ = 0, a},
 (*a=1/2 (1-e+ℓ);*)
 ListLinePlot[
   Table[
    Chop[
     Table[
      {r, (ℓ + 1 - 2 a)} /. FindRoot[
        HypergeometricU[a, 1 + ℓ, r^2]/Gamma[1 - a] == 0
        , {a, -n - 2/π r Sqrt[n] - (2 r^2)/π^2 + (ℓ + 1)/2 + 1/4}
        ]
      , {r, 0.01, 8, 0.2}]
     ]
    , {n, 1, 10}]
   , ImageSize -> 700
   , Frame -> True
   , GridLines -> All
   , FrameLabel -> {"Radius of inner boundary", "Energy eigenvalue"}
   ] /. {Line[pts_] -> {PointSize[0.01], Line[pts], Point[pts]}}
 ]

这里为方便起见，通常为负数，我添加了一个因子来抵消作为的函数的指数增长。这对于中等参数非常有效： $a= (\ell+1-E)/2$ $1/\Gamma(1-a)$ $U$ $E$

这些是作为在和作为不同的行）。 $E_n$ $\ell=0$ $r$ $0$ $8$

但是，如果我使用非零 s（对于低中扩展为更大的框，则此方法开始出现问题： $\ell$ $r$ $r$

数学图形

这让我想到了我的问题：有没有很好的标准方法来解决这个寻根问题？在它出现问题的情况下如何稳定它？

如果这些解决方案已经在 Mathematica 中实现，那就更好了！