计算科学 - 平滑聚合代数多重网格的零空间 - 吾爱随笔录

计算科学线性代数参考请求多重网格

2021-12-26 07:46:57

我并没有真正理解为平滑聚合代数多重网格创建延长算子的零空间使用点。我知道每个定义的零空间是什么，并且我知道零空间对应于结构有限元问题的刚体模式。

但是如何确定空空间并将其用于改进延长算子呢？3D 结构问题的零空间是否总是相同的（沿全局轴的 3 次平移和围绕全局轴的 3 次旋转）？

一些易于理解且不跳过所需信息的文献将非常有帮助。

1个回答

首先，我发现“Smoothed Aggregation”这个名称有点误导，因为该方法——据我所知——包括平滑一个试探性的延长算子和隐含地考虑构建试探性延长算子的（近）零空间.

在具有线性弹性的标准代数多重网格中，来自较粗空间的校正不会捕获（近）零空间。这就是为什么在平滑聚合多重网格方法（我更喜欢零空间捕获多重网格方法）中，显式构造了具有此属性的延长算子。对于简单类型的 PDE，例如简单的 Poisson 方程，标准代数多重网格会自动捕获零空间，在这种情况下为 1 向量。

但是，您要求的是 3D 线性弹性的零空间。..这里，零空间由刚体模式组成，即由每个节点的向量连接的六个向量。对于一个节点，三个向量 $b_1, b_2, b_3$ 表示平移，一个简单的基础是三个单位向量。其他三个向量表示围绕（任意）原点的旋转（通常使用 FEM 坐标的原点）。

b_{4} = [0, - z, y]

$b_4 = [0, -z, y]$

b_{5} = [z, 0, - x]

$b_5 = [z, 0, -x]$

b_{6} = [- y, x, 0]

$b_6 = [-y, x, 0]$

所以对于节点 $i$ 你需要获取它的坐标 $[x_i, y_i, z_i]$ 计算，例如 $b_4 = [0, -z_i, y_i]$ . 之后，您需要连接所有向量。因此，所有 FEM 模型的零空间并不相同，而是取决于节点的坐标。

最后的步骤包括平滑零空间，因此它更符合边界条件（这将是近零空间，因为适当约束的 FEM 的零空间是微不足道的）和块正交化。对于这些步骤，您可以查看我在下面列出的两篇论文（“原始”论文 [1]，包含一些很好的图表和有用的补充材料 [2]）。如果您对这些步骤有任何其他问题，我很乐意编辑我的答案。

其它你可能感兴趣的问题