计算科学 - 与两个拟退化特征值相关的特征向量 - 吾爱随笔录

我需要找到一个稀疏矩阵的最小特征值和对应的特征向量 $M$ 谁的维度是 $\approx 10^4$ .

在 Matlab 环境中，我使用命令

[Evec, Eval]= eigs(M,1,'sa');

我得到的特征值， $\lambda_0$ , 很合理，但我怀疑对应的特征向量， $\vec{v}_0$ ，是错的。我也怀疑这个可能错误的特征向量来自矩阵 $M$ 是这样的，它的光谱的较低部分是准退化的，即

λ_{0} \approx λ_{1} \approx λ_{2} \approx \dots

$\lambda_0 \approx \lambda_1\approx\lambda_2\approx \dots$ 请注意，光谱是准简并的，而不是简并的，这意味着，在任何情况下，都有

λ_{0} < λ_{1} < λ_{2} < \dots

$\lambda_0<\lambda_1<\lambda_2<\dots$ .

1）我的嫌疑人合理吗？

2）这是计算科学中的一个众所周知的问题吗？

3）有没有办法绕过它，即获得确切的特征向量 $\vec{v}_0$ 与最小特征值相关 $\lambda_0$ 矩阵的 $M$ 谁的频谱的下半部分是准退化的？

附加信息：矩阵 $M$ 表示一个量子哈密顿量。它是对称的，但既不是正定的也不是负定的。尽管如此，我只对它频谱的较低部分感兴趣，即最负的特征值。