计算科学 - 非保守线性双曲方程的有限体积离散化 - 吾爱随笔录

问题。考虑一维伴随欧拉方程 $(x,t) \in \Omega \times [0,T]$ 和 $\Omega \subset \mathbb{R}$ 和 $T > 0$

\begin{matrix} (*) & φ_{t} + (\frac{d F}{d U} (x))^{⊤} φ_{x} = 0 in Ω \times [0, T] \end{matrix}

$\varphi_t + \Big(\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d} U}(x)\Big)^{\top}\ \varphi_x = 0 \quad \text{in} \quad \Omega \times [0,T] \tag{$*$} \label{eq:adj}$ 在哪里

F

$F$ 是一维欧拉方程的通量矢量，

U

$U$ 保守变量向量和

φ_{x}

$\varphi_x$ 伴随向量的导数

x

$x$ .

特别是， $\eqref{eq:adj}$ 是从欧拉方程的保守形式导出的伴随方程。

问题一。现在，哪种方案具有以单元为中心的有限体积 (FV) 离散化和人工耗散（类似于 JST 方案），适合数值求解该方程（考虑到它是以非保守形式铸造的）？

评论。 如果我没记错的话，可以使用导数的乘积规则将上述齐次和非保守形式重铸为非齐次和保守形式

φ_{t} + [(\frac{d F}{d U})^{⊤} (x) φ]_{x} = [(\frac{d F}{d U} (x))^{⊤}]_{x} φ

$\varphi_t + \Big[\Big(\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d} U}\Big)^{\top}(x)\ \varphi \Big]_x = \Big[\Big(\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d} U}(x)\Big)^{\top}\Big]_x\ \varphi$

问题二。上述方法正确吗？此外，考虑到使用人工耗散，是否有更快、更简单的方法来离散系统 $\eqref{eq:adj}$ 避免数字陷阱？

备注。系数 $\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d} U}(x)$ 及时冻结 $t$ 他们只依赖于 $x$ .