这是一个有趣的问题，对于 PDE 给出的其他数学模型也以类似的形式出现。我对您的特定表述没有经验，但是我可以尝试通过针对类似问题的建议来启发您，或者给出一些总体上有用的评论。

了解为什么需要数值方案来为特殊函数生成精确解可能非常重要。我熟悉例如对所谓的密度驱动流动的这种要求，其中对于仅在重力方向上可变的给定密度的特殊形式，人们期望解决方案，这里是压力，是近似的（或精确使用），使得没有人为数值流是在精确流为零的地方创建的。另一个非常著名的案例是所谓的用于浅水问题的良好平衡数值方案，它在任意底部地形的静水情况下产生零数值流量。因此，了解您的案例的动机可能是有用的。$f_0$

不过，这里有两个简短的建议。在密度驱动流动的情况下，存在所谓的一致速度近似来解决类似问题。这个想法是未知的解决方案（那里的压力）表示为两个函数的差异，其中一个是特殊变量密度的精确响应。

在您的情况下，可能不是求解 ，而是求解使得其中是您的平衡分布，应该为您的输入数据唯一定义。要获得的 PDE，请将插入 PDE。如果你的问题是那么你得到，并且，显然，解决方案是，如果您对双方使用相同的离散化（这是自然的）。$f$$\tilde f$$f=\tilde f - f_0$$f_0$$\tilde f$$f$$\hbox{Fr}\{f\}=0$$\hbox{Fr}\{\tilde f\}=\hbox{Fr}\{\tilde f_0\}$$\tilde f = f_0$

您要求的另一种解决方案是在数值近似的构造中进行特殊插值，但是如果函数可以具有一般形式，那么在您的情况下这看起来很复杂。这种程序成功的地方是例如一维静止对流-扩散方程的数值解，其中在恒定输入系数的情况下获得精确解的指数形式。受此启发，有人提出了一种使用指数分布假设的数值方案，用于两个网格点之间的数值解，这也适用于可变输入系数，并且作为“副产品”，它可以在恒定输入系数的情况下产生精确解。$\epsilon_{\hbox{sub}}$