您的问题可能听起来像“不能将高斯求积用于不连续被积函数”，这不是必要的情况。问题是它的直接应用（不考虑不连续性）可能会产生不令人满意的精度（例如，添加更多正交点只会缓慢降低正交误差）。

要获得适合您目标的答案，您应该在问题中指定如何设置$\Omega_i$被描述。我可以为一个特定案例提供参考。我在使用水平集方法时知道这种集成，其中接口可以将域欧米茄分成两部分，所以集合$\Omega_i$由水平集函数的符号隐式给出，因为接口本身是由零水平集给出的。

所以如果你能构造一个平滑函数$\phi$（尤其是那个$\nabla \phi$几乎在任何地方都有定义）使得$\Omega_1 = \{ x : \phi(x) < 0 \}$和$\Omega_2 = \{x : \phi(x)>0\}$然后在 Google 或科学数据库中搜索“正交方法隐式定义体积”等术语。我不能推荐具体的出版物，因为我没有解决这个问题的实际经验。

类似地，所谓的流体体积法必须在不使用水平集函数的情况下处理此类问题，而是使用“特征函数”$\Omega_i$.

添加：

正如我之前写的，我之前没有应用过这种类型的数值求积，我只知道这个问题在水平集方法中已经解决了很多次，因此我不想推荐任何特定的算法，我建议搜索适合特定需求的变体。快速搜索一下，我得到了这个最近的PDF 文件：

用于超矩形中隐式定义的表面和体积的高阶求积方法 RI Saye SIAM 科学计算杂志 2015 37:2, A993-A1019

简单地检查一下，它声称可以使用水平集函数给出的信息找到正交点（和相应的正权重），使得它们严格位于一个子域中。这当然是在水平集方法中应该遵循的方向。