我正在尝试使用 bubnov-galerkin 有限元法求解简单的标量双调和方程。我在用$H^2$符合基函数。我想知道是否有人可以给我一些关于如何进一步调试我的算法的指示。

我继续将方程的强形式转换为弱形式：

$$\begin{align} \Delta^2 u &= f \\ u &= g \;\;\; \text{on} \;\;\; \Gamma_D \\ \Gamma_N &= \emptyset \end{align}$$

作为一个示例问题，我正在尝试解决：

$$\begin{align} u &= \cos(4 \pi x) \cos(4 \pi y) \end{align}$$ 边界条件是使用惩罚方法实现的。弱形式如下：

$$\begin{align} a(u,v) &= L(v) \\ a(u,v) &= \sum_{\Omega_K \in \mathcal T} \int_{\Omega_K} \Delta \psi_{i} \Delta \psi_{j} + \sum_{E \in \mathcal E} \gamma \int_{E} \psi_{i} \psi_{h,j} \\ L(v) &= \sum_{\Omega_K \in \mathcal T} \int_{\Omega_K} \psi_{i} f + \sum_{E \in \mathcal E} \gamma \int_{E} \psi_{i} g\\ \end{align}$$

问题：当我在平方域上求解这个方程时，我的 L2 误差几乎没有收敛（收敛率 ~ 0.3）。但是，如果我解决$u = \sin(4 \pi x) \sin(4 \pi y)$，我得到正确的收敛速度。我尝试了以下方法来调试我的代码：

• 我求解泊松方程，所以用刚度被积函数替换了第一个被积函数。我得到正确的收敛速度。我由此得出结论，我的惩罚方法实现是对的

• 我正在使用笛卡尔网格，所以雅可比符合预期

• 因为，我的形状函数是在参数中定义的（$\xi,\eta$) 空间，我必须为拉普拉斯算出变换。我在极坐标上测试了这种变换。

非常感谢。

道歉。已编辑。