计算科学 - 椭圆 pdes 的有限差分方程与边界积分方程 - 吾爱随笔录

椭圆 pdes 的有限差分方程与边界积分方程

计算科学有限差分积分方程

2021-12-18 09:09:41

在某些情况下，对于椭圆偏微分方程，边界积分法比有限差分法更受青睐。例如，用于求解域中的泊松方程 $D$

\begin{matrix} (⋆) & \nabla^{2} u = ϕ_{0} \end{matrix}

$\nabla^2 u = \phi_0 \tag{$\star$}$ 有边界条件

u = f

$u = f$ 在

\partial D

$\partial D$ , 而不是离散化

(⋆)

$(\star)$ ，我经常看到边界积分公式被求解，即

u (x) = \int_{\partial D} σ (s) \frac{\partial G (x, y (s))}{\partial n_{y}} d s + \int_{D} G (x, y) ϕ_{0} (y) d y

$u(x) = \int_{\partial D} \sigma(s) \dfrac{\partial G(x,y(s))}{\partial n_y} ds + \int_{D} G(x,y) \phi_0(y) dy$ 其中未知密度

σ (s)

$\sigma(s)$ 通过强制边界条件获得，即

\begin{matrix} (†) & \frac{σ (x)}{2} + \int_{\partial D} σ (s) \frac{\partial G (x, y (s))}{\partial n_{y}} d s + \int_{D} G (x, y) ϕ_{0} (y) d y = f (x) \end{matrix}

$\dfrac{\sigma(x)}2 + \int_{\partial D} \sigma(s) \dfrac{\partial G(x,y(s))}{\partial n_y} ds + \int_{D} G(x,y) \phi_0(y) dy = f(x) \tag{$\dagger$}$ 解决有什么好处

(†)

$(\dagger)$ 代替

(⋆)

$(\star)$ ? 请注意，在

(†)

$(\dagger)$ ，一个积分是在整个域上完成的，而另一个是在边界上完成的。以下是我的问题列表：

什么决定了边界积分法和有限差分法的选择，即在什么情况下边界积分法优于有限差分法？
一个比另一个在计算上更准确和/或更容易和/或便宜吗？

总的来说，我想对边界积分方法和有限差分方法进行比较，突出两种方法的优缺点。

1个回答

在我看来，这个问题太宽泛了。

BIE 方法与有限差分方法（或其他域方法）的评估需要仔细分析许多不同的点。他们之中

是 $D \subset \mathbb{R}^2$ 要么 $D \subset \mathbb{R}^3$ 甚至 $D \subset \mathbb{R}^N$ 和 $N>3$ ?
是 $D$ 有限还是无限？是 $D$ 简单连接？
哪一个是 $\partial D$ -表面到 $D$ -体积比与域直径相比？
有多光滑 $\partial D$ ? 解析解在边界处是否奇异？
您对解决方案的总体情况感兴趣吗 $D$ 或者您正在寻找一个非常精确的解决方案？
如果解决方案在某个点是奇异的，是否有兴趣在这些点获得非常好的渐近近似？

这就是说，我不会去总结 BIE 方法（这可能是一本书章节的主题！），而只是添加一些随机评论。

确定 FD 开启 $(\star)$ 比说搭配更容易 $(\dagger)$ ： $G(x,y)$ 是单数的 $y\rightarrow x$ ，您必须掌握 CPV 和 FP 集成才能正确实施 BIE 方法。
使用 FD，您可以计算出一个近似值 $u$ 在 $D$ . 使用 BIE，您可以计算数量 $\partial D$ 你必须恢复价值 $D$ 通过积分表示。
FD 提升稀疏矩阵，BIE 方法提升密集矩阵。

因此，在某些特定应用（问题类别）中，BIE 方法优于 FD 方法，以及在某些情况下它们非常糟糕，但我认为不可能用简短的答案来概括它们。

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