计算科学 - 计算布洛赫波 - 吾爱随笔录

特征值问题

\frac{d^{2} u}{d x^{2}} + 2 i k \frac{d u}{d x} - [k^{2} - 6 \sin (x)^{2}] u (x) = - μ u (x)

$\frac{d^2u}{dx^2}+2i k\frac{du}{dx}-[k^2-6\sin(x)^2]u(x)=-\mu u(x)$

或的前五个特征值，它们是、、、和 . $k=0$ $k=1$ $2.06$ $2.26$ $5.16$ $6.81$ $7.74$

以及我计算的那些特征值，但我得到的相应特征向量与论文Z. Shi 和 J. Yang 中的图 2 不一致，“Solitary waves bifurcated from Bloch-band edges in the two-dimensionalcyclic media”，Phys . 牧师 E卷。75，没有。5，第 056602 页，2007 年 5 月。

在这篇论文中，作者告诉我们边缘处的向量都是实数，但我计算它是复杂的。为什么与论文不一致？

StackOverflow 上的这个问题。

PRE75.056602

Clear["Global`*"]
Lx = \[Pi];
k0x = 2 \[Pi]/Lx;
V = 6 Sin[x]^2;
kx = 0;
{eig0, funs} = NDEigensystem[{-D[u[x],{x,2}]-2I kx D[u[x],x]+(kx^2+V)u[x],
                              u[0]== u[\[Pi]]}, u[x], {x,0,\[Pi]}, 3,
                              Method->{"VectorNormalization"->True,
                              "PDEDiscretization"->{"FiniteElement",
                              {"MeshOptions"->{"MaxCellMeasure"->0.01}}}}]

{2.06318, 6.81429, 7.74678},


kx=1;
{eig2,fun2} = NDEigensystem[{-D[u[x],{x,2}]-2I kx D[u[x],x]+(kx^2+V)u[x],
                            u[0]== u[\[Pi]]}, u[x], {x,0,\[Pi]}, 3,
                            Method->{"PDEDiscretization"->{"FiniteElement",
                                     {"MeshOptions"->{"MaxCellMeasure"->0.01}}}}]

{2.26673, 5.16594, 12.0926}