我需要求解一个简单的低维 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程。

是否有使用有限差分方案以数值方式执行此操作的简单指南？我发现了一些讨论高阶方法或讨论数值方案的理论性质的研究文章，但没有什么能真正帮助我作为一个没有学术抱负的新​​手来实现一个实际的算法。我真的不关心运行时间，并且对于需要一整天才能获得 5% 相对准确度的东西完全没问题。

当我尝试一个简单的正向欧拉方法时，我得到了奇怪的振荡，即使我试图评估上游的导数。上游是什么取决于哈密顿量的解，当然，它本身需要对导数进行评估；因此，这里有一些循环，我想我弄错了。或者，我可能搞砸了边界条件。

作为我需要解决的一个例子：

$$u\colon [0,T]\times \mathbb{R}^d\to \mathbb{R}$$ $$u_t-H(u,\nabla u)=0$$

$$H(u,\nabla u)=\min_{\alpha_i\geq 0\\ a\cdot \alpha=1} b\cdot \alpha+(c-\alpha)\cdot \nabla u$$ $$u(0,\cdot)=0$$

我在有限的二维数组，（使用）上尝试了以下迭代：$(u_n, \nabla u_n)$$0\leq n\leq N$$\Delta t:= T/N$

1. （对于每个数组索引）解决哈密顿最小化问题以获得和。$H(u_{n},\nabla u_{n})$$\alpha$

2. （对于每个数组索引）定义$u_{n+1}:=u_n+\Delta t H(u_{n},\nabla u_n)$

3. （对于每个数组索引）定义通过在上游方向差分$\nabla u_{n+1}$$u_{n+1}$$\alpha$

在边界处，我使用了，即每当上游方法要求我访问不存在的条目时，我都会评估下游。$u_{x_ix_i}:=0$$u$