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ARPACK 可以在对复杂矩阵进行对角化时利用封闭性吗？

计算科学特征值包

2021-12-11 16:19:03

我注意到 arpack 带有一个驱动程序 dsdrv1，它利用了实值矩阵的对称性。

有没有办法通过 z--- 驱动程序以某种方式类似地利用 Hermitian 矩阵？

该手册在第 3.2.1 节中讨论了 Hermitian 矩阵，但我不确定此分析和建议是否已经存在于 ARPACK 套件中。

2个回答

不，对于复杂的 Hermitian 矩阵，没有专门的 ARPACK 例程。

ARPACK 作者建议对 Hermitian 和非 Hermitian 问题znaupd使用该例程：

https://www.caam.rice.edu/software/ARPACK/UG/node43.html#SECTION00790000000000000000

推理（直接引用自 ARPACK 手册）：

有时，在znaupd复杂的 Hermitian 问题上使用时，由于不可避免的舍入误差，特征值将返回具有小但非零的虚部。这些应该被忽略，除非它们对于已计算的最大幅度特征值是显着的。

在这种情况下，使用非厄米例程几乎没有计算损失。唯一的额外成本是计算 Hessenberg 的特征值而不是三对角矩阵。

对于该软件旨在解决的问题配置，这些矩阵的大小足够小，与主要的计算成本相比，计算成本的差异可以忽略不计 ${\cal O}(n)$ 所需的工作。

相关的驱动程序zndrvX是 $X = 1 \dots 4$ .

另一个似乎实现稀疏 Hermitian eigensolvers 的库是 PRIMME，http://www.cs.wm.edu/~andreas/software/

另一个更大的野兽是SLEPc（建立在 petsc 之上）。它们也提供对稀疏 Hermitian eigensolvers 的支持（用户手册）。

如果没有专门针对稀疏 Hermitian 矩阵的算法，一种实用的替代方法是将问题转换为双倍大小的实矩阵。

例如，在您的问题中写出复杂的矩阵向量乘积 $Ax$ , 实部虚部 $(A_r + i A_i)(x_r + i x_i)$ ，然后转换为实对称矩阵产品，如

[\begin{matrix} A_{r} & - A_{i} \\ A_{i} & A_{r} \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{r} y_{i} \end{matrix}] .

$\begin{bmatrix}A_r & -A_i \\ A_i & A_r \end{bmatrix} \begin{bmatrix}{x_r \\ y_i}\end{bmatrix}.$ 请注意，由于在 Hermitian 矩阵中

A_{i}

$A_i$ 是斜对称的，尽管有负号，上述实矩阵确实是对称的。

这将使矩阵的存储量增加一倍，并将解决方案成本乘以 $2^k$ 在哪里 $k$ 是一个小整数（通常为 2 或 3），但它应该始终有效。

在 Hermitian 特征问题的一些应用中，结果是 $A_i$ 明显比稀疏 $A_r$ ，并且这种方法可以利用稀疏矩阵算法来利用这种情况。

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