计算科学 - 用于单元测试的条件差、易于评估的总和 - 吾爱随笔录

用于单元测试的条件差、易于评估的总和

计算科学数字条件数测试

2021-12-20 16:19:53

为了单元测试的目的，我正在寻找可以快速评估的不良条件和的示例。

我目前正在使用系列表示 $\ln(2)$ ：

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + 1}}{n}

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ 它有一个无限求和条件数，但是在双精度下，我只能在大量的项（对于单元测试来说很糟糕）之后将条件数提高到~22，并且天真的求和的误差并不大。所以我猜这个总和在数值上是有条件的！

1个回答

sum的条件数 $s(x) = \sum_{j=1}^n x_j$ 是（谁）给的

κ (x) = \frac{\sum_{j = 1}^{n} | x_{j} |}{| \sum_{j = 1}^{n} x_{j} |} = \frac{s (| x |)}{| s (x) |}

$\kappa(x) = \frac{\sum_{j=1}^n |x_j|}{|\sum_{j=1}^n x_j|} = \frac{s(|x|)}{|s(x)|}$ 并反映总和对输入中微小变化的敏感性。具体来说，我们有

lim_{ϵ \to 0_{+}} sup {\frac{1}{ϵ} | \frac{s (x + Δ x) - s (x)}{s (x)} | : | Δ x_{j} | \leq ϵ | x_{j} |} = κ (x) .

$\underset{\epsilon \rightarrow 0_+}{\lim}\sup \left\{ \frac{1}{\epsilon} \left|\frac{s(x+\Delta x) - s(x)}{s(x)} \right| \: : \: |\Delta x_j| \leq \epsilon |x_j|\right\} = \kappa(x).$ 如果所有具有相同的符号，则和是良条件的。如果，但很大，那么和是病态的。一个很好的总和示例，它的条件很好理解是给出这是阶泰勒多项式对于点处的自然指数函数。总和对于 x 的大负值是病态的，对于的所有正值是态的。如果为正且如此之大以至于

x_{j}

$x_j$

s (x) \approx 0

$s(x) \approx 0$

s (| x |)

$s(|x|)$

p_{n}

$p_n$

p_{n} (x) = \sum_{j = 0}^{n} \frac{x^{j}}{j!}

$p_n(x) = \sum_{j=0}^n \frac{x^j}{j!}$

n

$n$

x_{0} = 0

$x_0 = 0$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

n

$n$

p_{n} (x) \approx e^{x}

$p_n(x) \approx e^x$ 是一个很好的近似值，那么也是一个很好的近似值。简而言之，你有一个病态的总和，很容易获得一个好的近似值。

1 / e^{x} \approx p_{n} (- x)

$1/e^{x} \approx p_n(-x)$

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