我在数学部分问过这个问题，但没有收到回复。请让我在这里问一下，看看 threr 有什么不同。

没有势的薛定谔方程具有以下形式：

$$\partial_t\psi =i\nabla^2\psi.$$

我使用的有限元软件不直接处理复杂函数，所以我通过将方程拆分为实部和虚部来解决它：

$$\partial_t\psi_R = -\nabla^2\psi_I, \quad\quad \partial_t\psi_I = \nabla^2\psi_R .$$ 现在，如果我应用有限元法，方程变为 $$M\dot{\xi_R} = -A\xi_I, \quad\quad M\dot{\xi_I} = A\xi_R.$$

这里$M$是质量矩阵，并且$A$是扩散矩阵，我们求解$\xi_R$和$\xi_I$. 在这里假设周期性边界。如果我应用 Crank-Nicolson 方法，它变成

$${\xi_{R,n+1}} = \left(\dfrac{2M-\Delta tA}{2M+\Delta tA}\right)\xi_{I,n}, \quad\quad {\xi_{I,n+1}} =\left(\dfrac{2M+\Delta tA}{2M-\Delta tA}\right)\xi_{R,n}.$$

我大致按照这篇论文来推导方程。

问题： 在一个时间步之后，函数正确地演化，但随着它演化到更进一步的时间步，解决方案只是在 0 和 1 时间步之间来回移动，因为

$$\left(\dfrac{2M+\Delta tA}{2M-\Delta tA}\right)\left(\dfrac{2M-\Delta tA}{2M+\Delta tA}\right) = I.$$ 所以 $$\xi_{R,n+2} = I\xi_{R,n}$$

这里有没有专家知道如何解决这个问题，所以我可以去进一步的时间步？谢谢。