预处理和迭代求解器很酷，但是您是否尝试使用某种稀疏直接求解器来解决您的问题？如果没有，请先尝试。

针对这类问题的最先进的预处理技术是多重网格技术。在许多情况下，多重网格允许您在时间内解决您的（椭圆）问题。$O(n)$

1. 如果您不想更深入，一个好的开始可能是代数多重网格。您可以将其作为独立求解器和 CG 预处理器进行尝试。例如，它在PETSc中实现。

2. 如果您确实想更深入，那么本文就是一个好的开始。它有一个很好的示例集合，揭示了多重网格的行为，具体取决于问题的几何形状、参数和等等。$f$$\kappa$

使用 SPD 矩阵，调用它$A$，PCG是一个好方法。

预处理器的种类很大程度上取决于您所拥有的矩阵结构（读取矩阵的种类），并且没有唯一的答案。

选择预处理器的基本标准，$P$, 不止一个。考虑到 PCG，最重要的三个是：

• $AP^{-1} \approx I$
• $P$造价便宜
• 计算出来的$P^{-1}r_{k+1}$便宜

一般来说，对于像拉普拉斯这样的问题，您可以尝试以下两个。

对角线$D^{-1}$对角线预处理器很容易实现且应用成本低，但效率不高。矩阵包含的诗句$A$对角线项。如果与矩阵一起使用会更好$A$ 对角占优，但是当额外的对角项很大时，您会发现问题。

不完整的乔列斯基$\tilde{L}\tilde{L^T}$怀特$A$SPD 定义为Cholesky 分解。这个预处理器的想法是使用分解但保留稀疏模式$A$，即您仅将分解计算的术语用于$A$不同于零。这种不完全分解的存在取决于结构$A$，例如，如果$A$是一个$M$矩阵没问题。如果您重新排序节点，这种预处理器可以改进$A$所以小胡子$A$更短（在这里你可以看到一个例子，它的结构$A$很重要）。此预处理适用于 forward 和 back 方法（至于$LU$分解）

当您在这里谈论并行执行时，了解硬件类型很重要。无论如何，您必须并行化预处理器应用程序，例如$D^{-1}$你并行化$\frac{v_i}{d_i}$整个向量的操作。

既然你提到了斯托克斯的问题，我添加了一些关于并行的行。如果您的目标是使用重度并行化，因为 gpu 很重要，那么使用预处理器和 gpu 的简单应用程序很重要，如乘积矩阵向量稀疏 (SpMV)。在 Li 和 Saad [1] 的文章中，对 gpu 的各种预处理器进行了比较。

在 gpu多项式预处理器的情况下是好的。我个人使用这种对其他传统 gpu 预处理器具有良好性能的方法，请参阅指向 CUSP 组的此链接，其中我提供了一些详细信息、参考，以及带有一些结果测试的代码。这是一个最小二乘预条件子，它使用 Chebyshev 多项式，因此不涉及显式求积公式，详细信息请参见 J. Erhel、F. Guyomarc 和 Y. Saad [2] 的文章。

[1] 李瑞鹏和优素福萨阿德。Gpu 加速的预处理迭代线性求解器。超级计算杂志，63（2）：443–466，2013。

[2] J. Erhel、F. Guyomarc 和 Y. Saad，用于病态线性系统的最小二乘多项式滤波器，Tech。报告 umsi-2001-32，明尼苏达大学明尼苏达超级计算机研究所，明尼苏达州明尼阿波利斯，2001 年。