计算科学 - 用形状函数逼近连续函数的正态导数 - 吾爱随笔录

用形状函数逼近连续函数的正态导数

计算科学有限元

2021-12-16 17:23:52

这可能是一个非常微不足道的问题，但我自己无法弄清楚，所以就这样吧。

让 $\Gamma$ 是二维中的平滑边界，分为 $N$ 二次（3 节点）、连续、有限元。考虑边界上的一个这样的 3 节点单元 $\Gamma$ . 让 $\phi$ 是这个边界上的一个连续函数。考虑一个点 $\mathbf{x}$ 在 $\Gamma$ 它位于有限元之一上。现在我们近似 $\phi(\mathbf{x})$ 使用传统的有限元形状函数，

ϕ (x) = \sum_{j = 1}^{3} N_{j} ϕ_{j}

$\phi(\mathbf{x}) = \sum_{j=1}^3 N_j \phi_j$ 在哪里

N_{j}

$N_j$ 是多项式形状函数和

ϕ_{j}

$\phi_j$ 函数的节点值

ϕ

$\phi$ 在

Γ

$\Gamma$ . 类似地，我们可以逼近连续函数的正态导数

ϕ

$\phi$ 在点

x

$\mathbf{x}$ 在

Γ

$\Gamma$ 作为，

\frac{\partial ϕ (x)}{\partial n (x)} = \sum_{j = 1}^{3} N_{j} \frac{\partial ϕ_{j}}{\partial n_{j}}

$\frac{\partial \phi(\mathbf{x})}{\partial n(\mathbf{x})} = \sum_{j=1}^3 N_j \frac{\partial \phi_j}{\partial n_j}$ 在哪里

\frac{\partial ϕ_{j}}{\partial n_{j}}

$\frac{\partial \phi_j}{\partial n_j}$ 只是正常导数的节点值

ϕ

$\phi$ 在节点

j

$j$ . 问题是我们可以替代地写，

\frac{\partial ϕ (x)}{\partial n (x)} = \sum_{j = 1}^{3} \frac{\partial N_{j}}{\partial n_{j}} ϕ_{j}

$\frac{\partial \phi(\mathbf{x})}{\partial n(\mathbf{x})} = \sum_{j=1}^3 \frac{\partial N_j}{\partial n_j}\phi_j$ 其中形状函数是微分的，而不是函数

ϕ

$\phi$ ? 函数的法线（或其他）导数是否有必要用形状函数乘以导数的节点值的线性组合来建模？

3个回答

您描述问题的方式毫无意义，并且弄清楚如何制定问题可能也会为您指明解决问题的正确方向。解释：

你描述的功能 $\phi$ 只生活在边界上。但是之后， $\partial \phi/\partial n$ 没有任何意义，因为定义导数需要您知道远离边界的值。换句话说，您不能对仅在垂直于线的方向上定义的函数求导。
您的形状函数也是如此 $N_j(x)$ - 您描述它们的方式，它们仅在边界上定义，因此您不能采用正态导数。
你的系数 $\phi_j$ 只是数字，而不是功能。所以， $\partial \phi_j/\partial n = 0$ .

另一种看法：我猜你的问题是你对潜在问题的 BE 方法感兴趣。如果是这种情况， $\phi(x)\rvert_\Gamma$ 和 $\frac{\partial \phi}{\partial n}\bigr\rvert_\Gamma$ 将被离散化 $\Gamma$ 作为独立函数，可能具有不同的形状函数和节点位置。

因此，在 BEM 案例中，答案是否定的：要使该方法起作用，您有一组形状函数和节点值 $\phi$ 和一组不同的形状函数和节点值 $\frac{\partial \phi}{\partial n}$ 并且您不能通过区分将它们联系起来。原因在 Wolfgang 的回答中明确说明：让我补充一点，在 BE 方法中，这不是“问题”，而是程序的核心。

你的功能 $\phi(x)$ 取决于 $x$ , 节点值 $\phi_j$ 不要。这意味着只有形状函数取决于位置。
同样的事情适用于法线向量 $n(x)$ 和节点值 $n_j$ .
我宁愿写 $(\frac{\partial \phi}{\partial n})(x)= \sum\limits_{j=1}^3 N_j(x) (\frac{\partial \phi}{\partial n})_j$
因此，您的问题的答案是“是”

其它你可能感兴趣的问题

上一篇为什么相同的程序在旧计算机上运行得更快？下一篇在 GPU 上进行蒙特卡洛计算的入门教程？