我正在尝试在 Matlab 中使用 FFT 计算函数的导数。我编写了以下函数来计算它：
function dfdx = derivative(x,psi_0,n)
Nx = max(size(psi_0));
k = 2*pi/(range(x))*[0:Nx/2-1 0 -Nx/2+1:-1];
dfdx = ifft(((1i*k).^n).*fft(psi_0));
end
对于更高的导数（假设是次导数）它不起作用。更准确地说，次导数的情节没有意义。
知道是什么原因造成的，以及如何纠正？
假设您在，为简单起见，假设它是在整条实线上定义的单变量函数。如果它的傅里叶变换是，那么。
如果您正在计算第个导数，则迭代上面的过程会产生，表明高阶导数的计算变得病态。假设处的良条件函数，则导数表达式中的大系数意味着个导数的傅里叶变换的值显着扰动。
例如，如果，则常数前置因子的大小将是，或大约。有了这么大的常数因子，如果您在浮点运算中获得有意义的结果，那将是令人惊讶的。您可以将这种方法与通过有限差分近似数值计算导数进行比较；在大多数情况下，用这种方法计算 20 次导数会产生垃圾。
如果您使用任意精度算术，您可能会看到更准确的结果。随着的增加，您将需要更多位的输入精度才能获得精确到至少 8 位有效数字的输出（此截止值是任意的，但可能您需要许多准确的有效数字）。