计算科学 - matlab中的**PCG和MINRES**有什么问题？ - 吾爱随笔录

上周，我了解了PCG, MINRES, GMRES的稳健迭代方法的细节，它将步内收敛到非奇异系统：对矩阵的要求是：PCG 为 SPD 矩阵，MINRES 为对称矩阵，GMRES 为非对称矩阵。原因是上面这三种方法是最优的，即它们的残差向量是相互正交的，所以它们的残差向量，例如，必须满足，这会产生 $x^*$ $N$ $A\in \mathbb{R}^{N\times N}$

A x = b .

$Ax=b.$

r_{0}, r_{1}, . . ., r_{N}

$r_0,r_1,...,r_N$

r_{N} = 0

$r_N=0$

N

$N$ - 第一步。所以，我在matlab（matlab 2018b，8GB win10 OS环境）中做了一些例子如下：

clc;clear;
rng(0);%    to fix the rand number
n=10;
A=rand(n);  %   generate a nonsingular matrix
b=rand(n,1);
%   for general matrix
gmres(A,b);
%%  for SPD matrix 
pcg(A*A',b);
minres(A*A',b);
gmres(A*A',b);

结果是：

gmres converged at iteration 10 to a solution with relative residual 0.

pcg stopped at iteration 10 without converging to the desired tolerance 1e-06
because the maximum number of iterations was reached.
The iterate returned (number 10) has relative residual 0.02.

minres stopped at iteration 10 without converging to the desired tolerance 1e-06
because the maximum number of iterations was reached.
The iterate returned (number 10) has relative residual 0.016.

gmres converged at iteration 10 to a solution with relative residual 0.

奇怪的是，gmres 对于非对称矩阵和 SPD 矩阵都是正常的，但 pcg 和 minres 是异常的。因为矩阵是SPD，那么理论上pcg和minres必须N步收敛，但是都失败了。这是否意味着我们应该尽可能多地使用GMRES而不是其他方法，而不管 SPD 矩阵还是其他方法，因为 gmres 命令对于非对称和 SPD 矩阵非常健壮？有什么问题吗？有什么建议？ $AA^T$