计算科学 - 非线性抛物 PDE 的 FEM - 吾爱随笔录

计算科学 pde 有限元抛物线pde

2021-12-06 21:54:07

我正在寻找数值计算解决方案

k (x, u) \partial_{t} u - Δ u = f in Ω \times [0, T]

$k(x,u) \partial_t u - \Delta u = f \quad\quad\text{ in } \Omega \times [0,T]$

在哪里 $k$ 是一个连续但非线性的（在 $u$ ) 实值函数和 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$ . 我想使用有限元法，但我似乎无法管理非线性 $k$ . 我自己编写了代码，它已经适用于 $k = const$ ，即在“标准情况下”。

我的问题是，我无法摆脱 $k(u)$ 因素，因此不要达到像这样的公式

M \dot{u} - A u = F

$M \dot{u} - A u = F$ 就像在第 80 页这里（质量矩阵

M

$M$ , 刚度矩阵

A

$A$ ）。我似乎也无法得出任何可以让我应用牛顿法或类似方法的公式。在这种情况下甚至可以使用 FEM 方法吗？

任何帮助或参考表示赞赏。

2个回答

作为第一个镜头，我建议你使用Rothe的方法（首先是时间离散化），而不是线的方法（首先是空间离散化）。

如果为此使用隐式欧拉，则在每个时间步 $l$ ，你将不得不解决系统

- τ Δ u^{l} + k (u^{l}) u^{l} = k (u^{l - 1}) u^{l - 1} + τ [Δ u^{l - 1} + f^{l}],

$-\tau \Delta u^l+k(u^l)u^l = k(u^{l-1})u^{l-1} + \tau [ \Delta u^{l-1} + f^l],$

这是一个半线性椭圆问题。然后你可以应用，例如，牛顿或定点迭代。

您将不得不迭代出问题。离散化后，您会遇到形式问题

M (U^{n}) U^{n} + Δ t A U^{n} = F^{n} (U^{n - 1})

$M(U^n) U^n + \Delta t \; A U^n = F^n(U^{n-1})$ 其中质量矩阵取决于解

U^{n}

$U^n$ 第 n 个时间步。这种非线性方程组必须通过迭代求解，例如牛顿法。

这里给出了一个不同问题的示例，但使用相同的想法： https ://www.dealii.org/developer/doxygen/deal.II/step_15.html

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