系统论有一个完整的研究领域。这个问题是众所周知的，但这并不意味着答案很简单。

一些基础知识

首先，让我用更常见的符号来写你的问题。通常，离散线性系统被描述为：

$x_{k+1} = Ax_k + Bu_k$

$y_{k} = Cx_k + Du_k$

我们将称为内部状态，称为可观察输出。我可以证明，要使这个系统稳定，内部状态稳定就足够了。如果位于单位圆内 ( )，就会出现这种情况。$x$$y$$e_i$$A$$|e_i| < 1$

或者，您也可以使用连续线性系统：

$\dot{x} = Ax + Bu$

$y = Cx + Du$

这里，稳定条件是特征值的实部必须小于零。您似乎混淆了这些稳定性条件。

非线性系统分析

一般来说，分析非线性系统非常困难。这就是为什么我们通常围绕一些固定点计算线性化。除非特征值为零，否则这种线性化在固定点附近是准确的，因此如果线性近似是稳定的，则非线性系统在该固定点附近是局部稳定的。

黑盒方法

如果您正在研究的系统是一个黑匣子，您将不得不以某种方式估计该系统。你描述的方法是不够的。即使是一个简单的线性系统也可能对不同频率的信号有不同的响应。

您将需要对多个频率进行采样，或者通过单独应用信号，或者通过应用多频信号（如白噪声）并应用一些处理。您可以使用它来估计线性系统并从中得出稳定性结论。

编辑：关于反馈和你的问题的细节

从您的问题中我不明白您可以访问线性响应函数。为简洁起见，从现在开始，我将使用连续时间系统。我还将使用传递函数的拉普拉斯变换表示。

假设我们有一个具有传递函数 A(s) 的第一个系统（麦克风）的第二个系统。将这两者放在一个反馈循环中会产生以下传递函数：（你可以在网上找到这个推导，或者我有兴趣的可以给你写出来）。该传递函数应该是线性系统的有理函数，零和极点。系统的稳定性取决于极点，如果它们的实部是正的，我们就有不稳定性。$A(s)$$B(s)$$\frac{A(s)B(s)}{1 - A(s)B(s)}$$z_i$$p_i$$p_i$

问题是，我认为我们无法在这里访问完整的复杂传递函数。我们只有傅里叶变换，它（如果存在的话）相当于带有虚数的拉普拉斯变换。傅里叶变换并不能告诉您有关系统的所有信息。它会忽略任何瞬态行为，并在一切稳定后为您提供频率响应。如果我们变得不稳定，则信号会不断变化，因此这种瞬态行为很重要。$s$

小例子

假设 AB 组合（没有反馈）相当于以下系统：

$x_{k+1} = au_k\\ y_k = x_k$。

那么开环系统的 z 变换（离散等效​​于拉普拉斯）是。闭环系统有一个传递函数$az^{-1}$$\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})}$

开环系统只是在延迟一个单位后复制原始信号（并稍微放大）。但是闭环系统的行为不同。脉冲将导致阶跃函数根据衰减：，其中是单位阶跃函数。$a$$y_k = a^ku[k-1]$$u$

在这个简单的系统中，您将获得直观的解决方案，如果，你会变得不稳定。您还可以看到，是闭环传递函数的极点。$|a| > 1$$a$

在一个更复杂的示例中，您将在系统中拥有更多内存，从而打开信号破坏性干扰的可能性。但是，直觉规则在大多数情况下应该仍然有效。