计算科学 - 稳定性分析 - 吾爱随笔录

稳定性分析

计算科学 pde 稳定离散化

2021-12-23 23:27:08

偏微分方程，

\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} + a (x) \frac{\partial f}{\partial y} = 0 & f (0, y) = f (L_{1}, y) = c_{0} e^{- y} \\ f (x, 0) = c_{0}, f (x, L_{2}) = c_{0} e^{- L_{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \dfrac{\partial f}{\partial x} + a(x)\dfrac{\partial f}{\partial y} = 0 \qquad & f(0,y) = f(L_1,y) = c_0e^{-y} \\ & f(x,0) = c_0 \;,\; f(x,L_2) = c_0e^{-L_2} \end{align}$ 为了

f = f (x, y)

$f=f(x,y)$ 有非平凡解，

f (x, y) = A e^{(- y - h (x))}, a (x) = - \frac{d h (x)}{d x} .

$\begin{equation} f(x,y) = Ae^{(-y-h(x))} \;,\quad a(x)=-\dfrac{dh(x)}{dx} \;. \end{equation}$ 如果我通过框积分离散方程

[y_{i}, y_{i + 1}]

$[y_{i},y_{i+1}]$ ，我得到：

\frac{Δ y}{2} [\frac{\partial f (x, y_{i})}{\partial x} + \frac{\partial f (x, y_{i + 1})}{\partial x}] + a (x) [f (x, y_{i + 1}) - f (x, y_{i})] = 0

$\begin{equation} \dfrac{\Delta y}{2} \left[\dfrac{\partial f(x,y_{i})}{\partial x} + \dfrac{\partial f(x,y_{i+1})}{\partial x}\right] + a(x)\big[f(x,y_{i+1}) - f(x,y_i)\big] = 0 \end{equation}$ 收敛到非平凡解为。但是，我注意到这种离散化对于在数值上是不稳定的，并且在计算机上求解时会导致振荡。如何从数值稳定性的角度研究上述方程？这个方程是否属于特定类别的 PDE，是否有技术可以提高其稳定性？

Δ y \to 0

$\Delta y\rightarrow 0$

a (x) \neq 0

$a(x)\neq 0$

1个回答

这是一阶 PDE，但您试图在整个边界上施加 Dirichlet BC。这通常不是很好，但也许您的数据是这样的，您希望它有一个独特的解决方案。你可以把这个偏微分方程写成其中这是一个双曲线偏微分方程。如果向外垂直于您的域边界，那么您可以仅在边界的那些的部分上指定 Dirichlet BC 。因此，您可以在左边界上指定 BC，但不能在右边界上指定。在底部和顶部边界上，您必须检查的符号来决定这一点。

v \cdot \nabla f = \nabla \cdot (v f) = 0

$v \cdot \nabla f = \nabla\cdot (v f) = 0$

v (x, y) = (1, a (x))

$v(x,y) = (1, a(x))$

n

$n$

v \cdot n < 0

$v \cdot n < 0$

(x = 0)

$(x=0)$

a (x)

$a(x)$

绘制特征曲线以查看 BC 将如何流入您的域。这可以确定一个类似时间的方向，您可以沿着该方向前进以找到解决方案。

d y / d x = a (x)

$dy/dx = a(x)$

例如，如果并且您的域是使得在您的域中，那么您可以在左侧和底部指定 BC . 前进。正如 Wolfgang 所写，对于，您可以使用向后差分类型方案。FD 方案可能看起来像这样请注意，和是给定的边界值，您可以使用上述方案确定剩余的值。 $a(x)=x$ $[0,L_1]\times[0,L_2]$ $a(x) \ge 0$ $x$ $\partial f/\partial y$

\frac{f_{i + 1, j} - f_{i, j}}{Δ x} + a_{i} \frac{f_{i, j} - f_{i, j - 1}}{Δ y} = 0, a_{i} \geq 0

$\frac{f_{i+1,j}-f_{i,j}}{\Delta x} + a_i \frac{f_{i,j} - f_{i,j-1}}{\Delta y} = 0, \qquad a_i \ge 0$

f_{0, j}

$f_{0,j}$

f_{i, 0}

$f_{i,0}$

这只是一阶准确的，但却是一个很好的起点。

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