计算科学 - 对 PDE 二次特征值问题施加边界条件 - 吾爱随笔录

我有一个形式的二次特征值问题：

(A_{2} s^{2} + A_{1} s + A_{0}) \hat{v} = 0

$(A_2 s^2 + A_1 s + A_0)\hat{v} = 0$

其中是特征值。矩阵包含高达六阶的导数，并且我有六个边界条件： $s$ $A_i$

\hat{v} (0) = \hat{v} (1) = 0 {\hat{v}}^{i i} (0) = {\hat{v}}^{i i} (1) = 0 {\hat{v}}^{i v} (0) = {\hat{v}}^{i v} (1) = 0

$\hat{v}(0) = \hat{v}(1) = 0 \\ \hat{v}^{ii}(0) = \hat{v}^{ii}(1) = 0 \\ \hat{v}^{iv}(0) = \hat{v}^{iv}(1) = 0$

如果特征值问题是“标准”形式那么我只需修改矩阵的第一行和最后一行以施加边界条件。但是对于我的问题，我不知道是否应该对所有三个矩阵施加边界条件，或者只对（不乘以）施加边界条件，在这种情况下，我会将和的相应项设置为零。实际上我尝试使用最后一种方法，但它没有用（我正在使用 MATLAB 计算特征值）。 $A\hat{v}=\lambda \hat{v}$ $A$ $A_0$ $s$ $A_2$ $A_1$ polyeig

更具体地说，微分方程是：

[(D^{2} - K^{2}) s^{2} - 2 {(D^{2} - K^{2})}^{2} s + {(D^{2} - K^{2})}^{3} + R a K^{2}] \hat{v} = 0

$\left [\left(D^2 - K^2 \right)s^2 - 2 \left(D^2 - K^2\right)^2s + \left(D^2 - K^2 \right)^3 + Ra K^2 \right] \hat{v} = 0$

其中，是一个常数（因此在数值上它是一个对角矩阵），是一个常数标量。微分算子使用 Chebyshev 搭配实现，高阶导数可以评估为的幂。 $D = \frac{\partial^2}{\partial y^2}$ $K$ $Ra$ $D$ $D$