这真是一个巨大的话题......为简单起见，假设我们有线性各向同性媒体，所以。$\newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}}$ $\v{B} = \mu \v{H}$

• 就像 Wolfgang 提到的，您首先选择的公式取决于您要施加的边界条件或 . 根据 Demkowicz 的论文Modeling ofmicrobial吸收/scattering questions using hp-adaptivefinite elements，用于模拟包围完美导体的区域，而用于模拟磁对称墙。$\v{B}\cdot\v{n} = 0$$\v{H}\times\v{n} = 0$$\v{B}\cdot\v{n} = 0$$\v{H}\times\v{n} = 0$

• 可以在 Bossavit 的书Computational Electromagetism的第 2 章和第 6 章中找到使用标量或矢量势对静磁 BVP 的系统处理。

• 选择有时取决于电流的螺线管性质，但与您的模型略有不同，其中有导体，方程为： $\v{J}$

  $$\nabla \times \v{H} - \sigma \v{E} = \v{J}\tag{1}$$

  (a) 如果是无散度的，那么我们得到一个 div-curl 系统：你可以引入向量势使得和规范条件。我们还可以在有限元变分公式中弱施加自然边界条件。$\v{J}$$\v{A}$$\mu \v{H} = \nabla \times \v{A}$$\nabla \cdot \v{A} = 0$

  (b) 如果不是无散度的，我们可以引入一个电势 :并将散度算子应用于等式 (1) 的两边。然后我们就有了著名的 div-grad 静电系统： $\v{J}$$\phi$$\v{E} = \nabla \phi$

  $$-\nabla \cdot (\sigma \nabla \phi) = \nabla \cdot \v{J}$$

• 代入将导致我们得到一个调和函数，它在介质界面上具有适当的跳跃条件。通常这可以在时完成，并且我们不必施加任何规范条件，对于纯 Neumann 问题只需考虑兼容性条件。这是相对容易的路径。$\v{H} = -\nabla \psi$$\psi$$\v{B}\cdot\v{n} = 0$

• 矢量势的规范条件真的很痛苦，特别是对于那些想要使用符合元素或不愿意切换到将 de Rham 上同调保持在离散水平的 Nédélec 元素的人. 准确地施加无散条件太棘手，所以人们使用混合公式来弱施加它；这导致了一个可解决的鞍点问题。有几种方法可以制定混合变分问题，请参阅第 13 页Schoberl 的注释以了解其中一种公式。$\v{H}^1$

当我想到更多相关问题时，我将编辑更多答案。

使用势能的基本问题是它们是非物理实体（至少在经典意义上，不包括诸如 Aharonov-Bohm 效应之类的量子力学怪异），因此您必须处理两个问题：

• 什么是量规？势能不是唯一定义的，而只能达到规范条件，您必须决定您希望该条件如何看待以及如何将其引入您的数值方法中。

• 边界条件怎么办？您将始终以物理形式给出边界条件，例如，但将这些条件合并到数值方案中并不总是那么容易，因为如果您将这些方程写成具有势的方程，它们并不自然，而在字段中编写方程时，它们是自然的（因此通常很容易合并）。$n \times E = 0$

我会使用磁矢量势公式，使用 nedelec 的 curl 符合元素进行离散化，并使用 tree-cotree 规范。R. Albanese 和 G. Rubinacci（IEEE Transactions on Magnetics ）在“通过积分和微分方法解决三维涡流问题”中对这种方法进行了描述 ，但可能有点简洁。可以在Seong Cheol Lee 的“用于分析波导结构的层次矢量有限元”中找到对树-cotree 规范的更全面的描述（ IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques)，并且它也有一些你可以使用的高阶基函数的东西。尽管后一篇论文是关于波动方程的，但测量过程与您对静磁学所做的相同。

不利的一面是，Nédélec 元素不像您用来模拟标量潜力的标量节点那样常见 - 可能需要搜索一下 OSS 实现/自己动手。我认为其中一个更大的 OSS 包（deal.ii？）有它们——我知道 libmesh 没有。